LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM
Zadanie 6
Wyznaczyć wszystkie liczby pięciocyfrowe abcde, które dzielą się przez 36 i dla których a<b<c<d<e.
Rozwiązanie
Wypisujemy wszystkie możliwe ostatnie cyfry liczb podzielnych przez 36:
36×1=...6
36×2=...2
36×3=...8
36×4=...4
36×5=...0
36×6=...6
36×7=...2
...
Zauważmy, że są to wszystkie cyfry parzyste.
Wypisujemy wszystkie możliwe ostatnie cyfry dla liczb spełniających warunki zadania (a<b<c<d<e):
_ _ _ _ 5
_ _ _ _ 6
_ _ _ _ 7
_ _ _ _ 8
_ _ _ _ 9
Ponieważ liczby podzielne przez 36 muszą być parzyste, to jedynymi ostatnimi cyframi mogą być 6 i 8.
Liczba podzielna przez 36 musi być także podzielna przez 4, więc przedostatnia cyfra d i ostatnia e musi tworzyć liczbę de podzielną przez 4.
Biorąc pod uwagę, że przedostatnia cyfra d musi być większa lub równa 4 (bo a<b<c<d) i mniejsza od ostatniej cyfry e, jedynymi liczbami z dwoma ostatnimi cyframi, które spełniają powyższe warunki są:
_ _ _ 5 6
_ _ _ 4 8
_ _ _ 6 8
Liczba podzielna przez 36 musi być również podzielna przez 9, czyli suma jej cyfr musi być podzielna przez 9.
Rozpatrzmy każdy przypadek:
_ _ _ 5 6
5+6=11. Najbliższą liczbą podzielną przez 9 jest 18.
18-11=7 Czyli trzy pierwsze cyfry muszą dać sumę 7. Jedyne takie cyfry a b c, dla których a<b<c<5, to 1, 2 i 4.
Jedną z liczb, które spełniają warunki zadania jest liczba 12456.
_ _ _ 4 8
4+8=12. Najbliższą liczbą podzielną przez 9 jest 18.
18-12=6 Czyli trzy pierwsze cyfry muszą dać sumę 6. Jedyne takie cyfry a b c, dla których a<b<c<5, to 1, 2 i 3.
Jedną z liczb, które spełniają warunki zadania jest liczba 12348.
_ _ _ 5 6
6+8=14. Najbliższą liczbą podzielną przez 9 jest 18.
18-14=4. Nie ma takich trzech cyfr a b c, których suma wynosiłaby 4 i które spełniałyby warunek a<b<c<6.
Odpowiedź
Jedynymi liczbami pięciocyfrowymi abcde, które dzielą się przez 36 i dla których a<b<c<d<e, są liczby 12456 i 12348.
Michał Kęder