LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Jakie liczby mogą być takimi resztami?

1. Niech p oznacza liczbę pierwszą
2. Niech n oznacza całkowity wynik z dzielenia liczby pierwszej p przez 21
3. Niech r oznacza resztę z dzielenia dzielenia liczby pierwszej p przez 21
4. p = 21n + r
5. Reszta r musi być liczba mniejsza od 21:

   r Î {0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

6. Reszta r ma być liczbą złożoną:

   r Î {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

   r Î {0, 4, 6, 8, 9 ,10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

7. Reszta r nie może dzielić się przez 3, bo 21 dzieli się przez 3, a p jako liczba pierwsza nie może dzielić się przez 3.

   r Î {0, 4, 6, 8, 9 ,10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

   r Î { 4, 8, 10, 14, 16, 20}

8. Reszta r nie może dzielić się przez 7, bo 21 dzieli się przez 7, a p jako liczba pierwsza nie może dzielić się przez 7.

   r Î { 4, 8, 10, 14, 16, 20}

   r Î { 4, 8, 10, 16, 20}

9. Należy wskazać teraz liczby pierwsze, które dają reszty 4, 8, 10, 16 lub 20 z dzielenia przez 21.

   67 daje resztę 4 z dzielenia przez 21:  67 = 3 × 21 + 4

   29 daje resztę 8 z dzielenia przez 21:  29 = 1 × 21 + 8

   31 daje resztę 10 z dzielenia przez 21:  31 = 1 × 21 + 10

   37 daje resztę 16 z dzielenia przez 21:  37 = 1 × 21 + 16

   83 daje resztę 20 z dzielenia przez 21:  83 = 3 × 21 + 20

Liczby złożone, które mogą być resztami z dzielenia liczby pierwszej przez 21 to: 4, 8, 10, 16, 20.

Paweł Sobociński