Liga Zadaniowa UMK w Toruniu 2002/2003

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

ZADANIE 22

Czy można liczby naturalne od 32 do 86 włącznie wypisać w pewnej kolejności tak, by otrzymany zapis był zapisem liczby pierwszej?

ROZWIĄZANIE

Niech A oznacza liczbę utworzoną w sposób opisany w zadaniu.

Sprawdzam czy liczba A dzieli się przez 3
korzystając z cechy podzielności przez 3 w ten sposób, że dodaję wszystkie liczby jednocyfrowe utworzone z zapisu dziesiętnego liczby A.
Obojętne w jakie kolejności występują cyfry danej liczby, otrzymam sumę: (3+2)+(3+4)+(3+5)+(3+6)+(3+7)+..................+(8+6)=545
Suma 545 nie dzieli się przez 3, a szkoda bo gdyby się dzieliła przez 3, to dana liczba też by się dzieliła przez 3 i nie byłaby liczbą pierwszą.

Nie tracę jednak nadziei i
sprawdzam czy może liczba A ta dzieli się przez 11:

Sprawdzam to na podstawie cechy podzielności przez 11 w ten sposób, że dodaję wszystkie liczby dwucyfrowe utworzone z kolejnych cyfr zapisu dziesiętnego liczby A.
Obojętnie w jakie kolejności ustawione są liczby od 32 do 86 otrzymam sumę:

32+33+34+35+36+..........+86=3245
Sprawdzam tak samo czy 3245 dzieli się przez 11 dodając 32+45.

Tak jest: 32+45 = 77

i 77 dzieli się przez 11, więc 3245 też dzieli się przez 11, i stąd liczba A też dzieli się przez 11.

ODPOWIEDŹ

Nie można,
bo obojętnie w jakie kolejności ustawimy liczby od 32 do 86 to zawsze otrzymamy liczbę podzielną przez 11, a więc nie będzie to liczba pierwsza.

Paulina Szewczyk