LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 12

Rozwiązanie

Musimy znaleźć takie liczbę n, że sumy cyfr liczb n i n+1 dzielą się przez 101.

1. Jeśli cyfra jedności liczby n jest różna od 9, to cyfra jedności liczby n+1 będzie o 1 większa od sumy cyfr jedności liczby n, a reszta cyfr nie ulegnie zmianie. Różnica sumy cyfr liczby n i n+1 będzie wtedy wynosiła 1, a 1 nie dzieli się przez 101. Stąd nie istnieją taka n, której cyfra jedności jest różna od 9 i sumy cyfr liczb n i n+1 dzielą się przez 101.
   
   
2. Jeżeli k ostatnich cyfr liczby n będzie 9 a przed tymi dziewiątkami będzie cyfra różna od 1, to k ostatnich cyfr liczby n+1 będzie równych 0, a cyfra poprzedzająca k-tą dziewiątkę liczby n wzrośnie o 1. 
   To znaczy, że jeśli do n dodamy 1, to k cyfr zmaleje o 9, a jedna cyfra wzrośnie o 1 i pozostałe cyfry się nie zmienią. Zatem różnica sum cyfr liczb n i n+1 wynosi 9k-1. Różnica ta musi być podzielna przez 101, zatem 9k-1=101m (gdzie m należy do liczb naturalnych ). Wtedy 9k=101m+1

   Łatwo zauważyć, że najmniejsza możliwa liczba m wynosi 4. Mamy wtedy 9k=101×4+1=405 i stąd k=45

   Przy takim rozwiązaniu ostatnich 45 cyfr liczby n musi być dziewiątkami. Wtedy suma tych cyfr wynosi 9×45=405. Załóżmy , że n składa się ze stu jedynek i 45 dziewiątek 11...1199...99. Suma cyfr wynosi 505, więc przez 101, natomiast n+1 będzie postaci: 11...120...0, gdzie jedynek jest 99, a zer 45. Suma cyfr liczby n+1 wynosi 1×99+2+45×0=101, a więc jest podzielna przez 101.

Odpowiedź

Istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których suma cyfr jest podzielna przez 101, np.11...19...9 (100 jedynek i 45 dziewiątek) oraz 11...120...0 (99 jedynek, 1 dwójka i 44 zera).