LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I 
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 10

W przykładzie zapisanym na tablicy klasowy dowcipniś zmienił dwie cyfry i otrzymano zapis:

4·5·4·5·4=2247.

Odtwórz pierwotny zapis.

Rozwiązanie:

W zapisie

4·5·4·5·4 = 2247

po lewej stronie występują trzy cyfry 4, więc jeśli dowcipniś zmienił tylko dwie cyfry, to przynajmniej jedna cyfra 4 musiała występować przed zmianą.
Wobec tego wynik mnożenia musiał być podzielny przez 4 już na początku przed zmianą.
Stąd wynika, że na początku wynik po prawej stronie nie mógł mieć na końcu cyfry 7. To znaczy, że dowcipniś na pewno zmienił jakąś cyfrę w miejscu 7. 

4·5·4·5·4 = 224  

Pozostała jeszcze tylko jedna cyfra, którą zmienił. Nie mógł zatem zmienić dwóch cyfr 5, wiec jedna cyfra 5 po lewej stronie musiała występować od początku.

Zatem na początku po lewej stronie musiała być chociaż jedna cyfra 5 i chociaż dwie cyfry 4. Zatem wynik musiał być podzielny przez 5·4·4 czyli przez 80. Ostatnia cyfra wyniku musiała więc być równa 0.

4·5·4·5·4 = 2240

Gdyby dowcipniś nie zmienił żadnej cyfry po lewej stronie to na początku musiałby być zapis 4·5·4·5·4 = 1600, a to jest niemożliwe, bo żeby z liczby 1600 zrobić 2240 trzeba by jeszcze zmienić aż 3 cyfry: 1 na 2, 6 na 2 i 0 na 4. 
Z tego rozumowania wynika, że drugą cyfrę dowcipniś zmienił z lewej strony zapisu, a po prawej już nic nie było zmieniane.
Liczbę 2240 możemy przedstawić w postaci iloczynu: 2240 = 4·7·4·5·4, więc że w miejscu jednej z piątek musiała być na początku cyfra 7. 

Początkowy zapis musiał więc wyglądać tak:

4·7·4·5·4 = 2240

albo tak:

4·5·4·7·4 = 2240

Made by: Tomasz Grabiec