LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 18

Czy liczba 66...6, w której cyfra 6 powtarza się 2002 razy jest kwadratem liczby naturalnej?

Rozwiązanie:

Jeżeli kwadrat liczby naturalnej dzieli się przez liczbę pierwszą p to dzieli się on także przez p2

Suma cyfr liczby 66...6, gdzie cyfra 6 powtarza się 2002 razy, wynosi

2002 × 6 = 2×7×11×13×2×3.

Widzimy więc, że suma cyfra dzieli się przez 3 ale nie dzieli się przez 9.

Z cechy podzielności przez 3 i 9 wynika, że liczba 66...6, gdzie cyfra 6 powtarza się 2002 razy, dzieli się przez 3 ale nie dzieli się przez 9 (czyli dzieli się przez liczbę pierwszą p=3 i nie dzieli się przez kwadrat tej liczby p2 = 9).

Dlatego nie może być kwadratem liczby naturalnej.

Kuba Ładysz lA