LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM
Zadanie 20
Reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Jakie liczby mogą być takimi resztami?
Rozwiązanie
p - dana liczba pierwsza
r - reszta
Najpierw wypiszmy wszystkie możliwe reszty z dzielenia przez 21:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
A teraz skreślmy reszty, które nie są liczbami złożonymi:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Dzielnikami liczby 21 są 3 i 7.
Liczbę pierwszą p możemy zapisać w postaci p = 21a + r.
Zauważmy, że r nie może być wielokrotnością 3 i 7, ponieważ:
- gdyby r było wielokrotnością 3, to znaczy było postaci r=3x; wtedy:
p = 21a + 3x = 3(7a + x),
z tego wynikałoby, że p jest podzielne przez 3, a przecież p jest liczbą pierwszą;
- gdyby r było wielokrotnością 7, to znaczy było postaci r = 7x; wtedy:
p = 21a + 7x = 7(3a + x),
z tego wynikałoby, że p jest podzielne przez 7, a przecież p jest liczbą pierwszą.
Wiemy więc, że musimy skreślić wszystkie reszty, które są wielokrotnościami 3 lub 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20
Pozostałe liczby {4, 8, 10, 16, 20} są złożonymi resztami dzielenia przez 21.
Odpowiedź
Złożonymi resztami z dzielenia liczb pierwszych przez 21 mogą być liczby 4, 8, 10, 16, 20.
Karol Masłowski