LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 21

Rozwiązanie

Wiadomo, że p^p+1 jest liczbą podzielną przez p.
np. 2³=8=2×4+0

3⁴ jest podzielne przez 3, ale jeśli dodamy do niej 2, to stanie się liczbą pierwszą.
3⁴+2=81+2=83
3 jest jedyną taką liczbą, ponieważ każda następna liczba pierwsza po wykonaniu tego działania jest podzielna przez 3. Poniżej uzasadnienie tego faktu:

1. Jeśli liczba pierwsza p jest większa niż 3, to nie dzieli się ona przez 2, więc p+1 dzieli się przez 2, tzn. p+1 = 2n gdzie n jest pewna liczba naturalną.

   p^p+1 + 2 = p²ⁿ + 2 = (p²)ⁿ + 2

2. Jeśli liczba pierwsza p jest większa niż 3, to nie dzieli się ona przez 3. Kwadrat każdej liczby niepodzielnej przez 3 daje resztę 1 z dzielenia przez 3. 

   p² daje resztę 1 z dzielenia przez 3.

3. Iloczyn dwóch liczb, które z dzielenia przez 3 dają resztę 1 daje też resztę 1 z dzielenia przez 3. 
   Stąd każda potęga liczby, która z dzielenia przez 3 daje resztę 1 też daje resztę 1 z dzielenia przez 3. 

   (p²)ⁿ daje resztę 1 z dzielenia przez 3

4. Jeśli do liczby, która z dzielenia przez 3 daje resztę 1 dodamy 2, to otrzymamy liczbę podzielna przez 3. 

   (p²)ⁿ + 2 dzieli się przez 3

Odpowiedź

Tomek Michalski