LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 3
Treść:
W okręgu o środku O średnica AB i cięciwa CD przecinają się
w punkcie M.
Miara Kąta CMB jest równa 75°, a miara kąta
środkowego opartego na łuku BC (bez punktów A i D) wynosi 58°.
Wyznacz miarę kata wpisanego ACD.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od rozponania miar kątów AMC i OCM. Wynoszą one odpowiednio AMC = 75°
(kąt wierzchołkowy z DMB);
oraz OCM = 47° (75° + 58° = 133°, 180° - 133° = 47°).
Teraz policzymy kąt AOC, który równa się 180° - 58° = 122°.
Połączmy ze sobą odcinkiem
punkty A i C. Zauważmy, że trójkąt AOC jest równoramienny, bo odcinki AO i OC są promieniami
koła o środku O. Wtedy miary kątów OAC i ACO są równe. Obliczenia: (180° - 122°) / 2 = 29°.
Dodajmy do siebie kąty ACO i OCD, wyjdzie wtedy miara kąta ACD:
29° + 47° = 76°, i to jest rozwiązaniem tego zadania.
Oto końcowy rysunek.
Odpowiedź:
Miara kąta ACD jest równa 76°.