LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2007/2008

Zadania przygotowawcze do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

Tematyka: 1. Twierdzenie Pitagorasa z zastosowaniami. 2. Wielokąty foremne. 3. Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt. 4. Symetrie w układzie współrzędnych.

Zadanie 1

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego jest równa 8 cm, a promień okręgu opisanego jest równy 20 cm.

Rozwiązanie Pawła Abramowicza

Zadanie 2

W okrąg wpisano trójkąt ABC, w którym |ĐCAB| = 30° i |ĐABC| = 80°. Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz miarę kąta ADC. .

Rozwiązanie Kasi Błażejewskiej

Zadanie 3

W okręgu o środku O średnica AB i cięciwa CD przecinają się w punkcie M. Miara Kąta CMB jest równa 75°, a miara kąta środkowego opartego na łuku BC (bez punktów A i D) wynosi 58°. Wyznacz miarę kata wpisanego ACD.

Rozwiązanie Szymona Borkowskiego

Zadanie 4

Bok prostokąta ma długość 24 cm, a jego przekątna ma długość 26 cm. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty. W każdy z nich wpisujemy koło. Oblicz odległość między środkami tych kół.

Rozwiązanie Krzysztofa Chrzanowskiego

Zadanie 5

Wysokość opuszczona z wierzchołka kata prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 2 cm i 8 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie Agnieszki Dubilewicz

Zadanie 6

W okrąg o promieniu 5 cm wpisano dwunastokąt foremny. Wyznacz długość boku i pole tego dwunastokątna.

Rozwiązanie Patryka Dziemianowskigo

Zadanie 7

W trójkącie podstawa ma długość 60 cm. Wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 12 cm, a środkowa poprowadzona do tej podstawy ma długość 13 cm. Wyznacz długości pozostałych boków tego trójkąta. Uwaga: Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego do tego wierzchołka boku.

Rozwiązanie Oskara Filipowicza

Zadanie 8

W okręgu o środku O średnica AB i cięciwa CD przecinają się w punkcie M. Miara kąta CMB jest równa 75°, a miara kąta środkowego opartego na łuku BC (bez punktów A i D) wynosi 58°. Wyznacz miarę kąta wpisanego ACD.

Rozwiązanie Joasi Jędrzejewskiej

Zadanie 9

W okrąg o promieniu 6 cm wpisano ośmiokąt foremny. Wyznacz długość jego boku i pole tego ośmiokąta.

Rozwiązanie Kingi Kępczyńskiej

Zadanie 10

Dany jest trójkąt OAB, gdzie A = (-8,0), B = (0,-8) i O = (0,0). Niech A1 będzie obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej OB, B1 obrazem punktu B w symetrii osiowej względem prostej OA i O1 będzie obrazem punktu O w symetrii osiowej względem prostej AB. Wyznacz pole trójkąta O1A1B1.

Rozwiązanie Sandry Kisielewskiej

Zadanie 11

Środkiem symetrii rombu jest punkt (0,0). Jednym z jego wierzchołków jest punkt (2,-2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 8.

Rozwiązanie Janka Kozakiewicza

Zadanie 12

W czworokącie wypukłym ABCD dane są: |ĐABC| = 110°, |ĐDBC| = 40°, |ĐACD| = 70°. Wyznaczyć |ĐCAD| i |ĐADC|.

Rozwiązanie Diany Kryczko

Zadanie 13

Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 4 cm i 16 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie Jakuba Kurowskiego

Zadanie 14

Wyznaczyć długość boku dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 6 cm.

Zadanie 15

W okrąg wpisano trójkąt ABC, w którym |ĐCAB| = 55° i |ĐABC| = 70°. Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz miarę kąta ADC.

Rozwiązanie Przemka Kwapisza

Zadanie 16

Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt (-1, ; -1), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (-5; -1). Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Zadanie 17

Wyznaczyć pole i obwód ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki mają długości 1, , 1, , 1, , 1,  w podanej kolejności.

Rozwiązanie Jakuba Misiaszka

Zadanie 18

Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 16 i 9. Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie Rafała Mossakowskiego

Zadanie 19

W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości AM i BN. Ponadto punkt P jest środkiem boku AB oraz |ĐACB| = 60°. Udowodnić, że trójkąt MNP jest równoboczny.

Zadanie 20

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię jest długości 15 cm. Obliczyć odległość między środkami okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie Joasi Pabich

Zadanie 21

Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie Olgi Rybickiej

Zadanie 22

Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego ABC, jeśli |BH| - |HA| = |AC|, gdzie odcinek CH jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego C.

Uwaga: W przygotowaniach do III spotkania można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa" - zad. 51-87, 276-310."