LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię jest długości 15 cm. Obliczyć odległość między środkami okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Oznaczenia:

O1 - środek okręgu wpisanego

O2 - środek okręgu opisanego

H - spodek wysokości

h - wysokość trójkąta ABC

s - pole trójkąta ABC

p - połowa obwodu trójkąta ABC

r - promień okręgu wpisanego

R - promień okręgu opisanego

x = |O2H|

Z twierdzenia Pitagorasa:

h=sqrt(15²-12²)=9

s=24*9/2=108

p=(24+15+15)/2=27

r=s/p=108/27=4=|O1H|

O2 leży poza okręgiem wpisanym(15²+15² jest mniejsze od 24²)

R=|O2C|=|AO2|=h+x=9+x

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt O2HA)

x²+12²=(9+x)²

x²+144=81+18x+x²          /-x²-81

63=18x

x=3,5

|O1O2|=|O2H|+|O1H|=3,5+4=7,5[cm]

Odp.: Odległość między środkami okręgów wpisanego i opisanego wynosi 7,5 cm.

Autor: Asia Pabich