LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6

W okrąg o promieniu 5 cm wpisano dwunastokąt foremny. Wyznacz długość boku i pole tego dwunastokątna.

Rozwiązanie


r = 5cm

Trójkąt AOB jest równoboczny więc odcinek OR = a odcinek RC =

Z odcinków RB, BC, CR powstał trójkąt prostokątny.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka BC = x , wiedząc, że odcinek BR = ½ r a odcinek RC =

Teraz obliczamy obwód dwunastokąta.

[cm]

Obliczamy pole dwunastokąta.

Dwunastokąt składa się 12 przystających trójkątów, w których za podstawę można przyjąć r (długość odcinka OC) a za wysokość ½ r (długość odcinka BR). Wobec tego pole dwunastokąta foremnego równa się

P = 12× ½ (r × ½ r) = 3r2 = 3×52 = 75 [cm2].

Opracował: Patryk Dziemianowski