LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 21.
Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie
Oznaczenia do rysunku:
r-promień okręgu wpisanego w trójkąt
R-promień okręgu opisanego na trójkącie
a,b -długości przyprostokątnych
Twierdzenie:
Jeśli mamy dwie proste styczne do tego samego okręgu, przecinajęce się w punkcie P
leżącym poza tym okręgiem, to odcinki od punktu P do punktów styczności są sobie
równe.
korzystając z powyższego twierdzenia obliczamy:
(a-r)+(b-r)=2R
a+b-2r=2R /+2r
a+b=2R+2r
Olga Rybicka