LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 4
Bok prostokąta ma długość 24 cm, a jego przekątna ma długość 26 cm. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty. W każdy z nich wpisujemy koło. Oblicz odległość między środkami tych kół.
Rozwiązanie:
Wprowadźmy oznaczenia punktów, kątów i odcinków na rysunku:
Policzę krótszy bok prostokąta ( |AD|, |BC| ) i promień okręgów wpisanych ("r")
|AD|2= 262 - 242 (cm)
|AD|2= 100 (cm)
|AD| = 10 (cm)
A teraz promień (policzę promień okręgu o środku O1, drugi okrąg jest taki sam).
Połączę środek okręgu z wierzchołkami trójkąta na nim opisanego (trójakąt ABD). W taki sposób powstały 3 trókąty (AOD, AOB, BOD)
Pole dużego trójkąta można policzyć na dwa sposoby ( |AD|*|AB|/2 lub sumą pól mniejszych trojkątów). Suma pól tych trójkątów to r/2 * ( |AB| + |AD| + |BD| ), ponieważ promień jest wysokością każdego z nich.
r/2 * (24 + 26 + 10) = (24 * 10)/2 |*1/(24 + 26 + 10) (cm)
r/2 = 120/60 (cm)
r = 4 cm
Odcinki |AE| i |AF| są sobie równe (wynika to z twierdzenia o odcinkach stycznych) oraz są równe promieniowi.
Z tego wynika, że |ED| i |GB| = 6.
Narysuję odcinek z punktu O2 prostopadły do |AB|, a więc równoległy do |BC|. Jest on równy 6 tak jak |GB|. Dorysuję teżodcinek poprowadzony z punktu O1 prostopadły do poprzedniego.
Powstał trójkąt (O1)M(O2), a jego przeciw prostokątną jest nasza niewiadoma. Pozostałe dwa boki znamy:
|(O2)M| = |BG| - |F(O1)| = 2
|(O1)M| = |AB| - |HC| - |AF| = 16
Liczymy niewiadomą z Twierdzenia Pitagorasa
x2 = 22 + 162
x2 = 4 + 256
x2 = 260
x = √260 = 2√65
Odp.: Odcinek łączący środki kół ma długość 2√65
Krzysztof Chrzanowski kl.IIa