LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM
Zadanie 3 z konkursowych
W graniastosłupie liczba krawędzi jest o 2006 większa od liczby ścian. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?
ROZWIAZANIE:
Łatwo można zaobserwować zależność między liczbą wierzchołków podstawy graniastosłupa a liczbę jego ścian, krawędzi i wierzchołków:
| podstawa |
liczba ścian |
łiczba krawędzi |
liczba wierzchołków |
| 4-kąt |
6 |
12 |
8 |
| 5-kąt |
7 |
15 |
10 |
| 6-kąt |
8 |
18 |
12 |
|
| i tak dalej |
... |
... |
... |
|
| n-kąt |
n+2 |
n*3 |
n*2 |
Jeśli n jest liczbą boków postawy graniastosłupa, to:
- z każdego boku podstawy wychodzi jedna ściana boczna, więc ścian bocznych jest n.
Gdy do tego dodamy dwie podstawy, to razem mamy n+2 ściany.
- każdy bok dolnej podstawy, każdy bok górnej podstawy i każda krawędź boczna dają razem 3n wszystkich krawędzi
- Każdy wierzchołek graniasttosłupa jest wierzchołkiem jednej z podstaw, wiec raem jest ich 2n.
Zauważając tę zależność możemy ułożyć równanie: (Dotyczy tabelki)
n+2+2006=n*3
n+2008=n*3 /-n
2008=3n-n
2008=2n /:2
1004=n
liczba wierzhołków równa się 2n = 2008.
ODPOWIEDŹ: Ten graniastosłup ma 2008 wierzchołków .
Maciej Urbański