Zadania konkursowe
z etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

Wyznaczyć pole i obwód sześciokąta foremnego, w który można wpisać okrąg o promieniu $r = 6\text{ cm}.$

W rombie $ABCD$ dane są wierzchołki $A = (-1;-3) i\text{ i } C = (-1,5).$ Wyznacz współrzędne wierzchołków $B \text{ i } D$ wiedząc, że pole tego rombu jest równe 24.

Czy zbiór $\{(1,1), (5,1), (1,5)\}$ ma osie symetrii?
Jeśli tak, wyznaczyć równania wszystkich osi symetrii tego zbioru.
Czy powyższy zbiór ma środki symetrii?
Wyznaczyć zbiór wszystkich środków symetrii tego zbioru, o ile istnieją.

Wierzchołkami czworokąta $ABCD$ są punkty$ A = (-4,0)$, $B = (6,0)$, $C = (2,3)$ i$ D = (-4,3).$ Niech $A_1B_1C_1D_1$ będzie obrazem czworokąta $ABCD$ w symetrii względem osi $OY.$ Wyznacz pole i obwód części wspólnej czworokątów $ABCD$ i $A_1B_1C_1D_1.$

Dany jest trójkąt $OAB$, gdzie $A = (4,0)$, $B = (0,4)$ i $O = (0,0).$ Niech $A_1$ będzie obrazem punktu $A$ w symetrii osiowej względem prostej $OB$, $B_1$ będzie obrazem punktu $B$ w symetrii osiowej względem prostej $OA$ $\text{i }O_1$ będzie obrazem punktu $O$ w symetrii osiowej względem prostej $AB.$ Wyznacz pole trójkąta $O_1A_1B_1.$

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 6 cm i 8 cm wyznaczyć odległość pomiędzy środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt i środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.