Zadania konkursowe
z etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

Dane są punkty $A=(-4, 2),$ $B=(2, 2),$ $C=(2, -4).$ $\text{Niech } A_1,\; B_1,\; C_1$ będą odpowiednio obrazami punktów $A,\; B,\; C$ w symetrii względem osi $X.$ Obliczyć obwód i pole figury:

1. będącej częścią wspólną trójkątów $ABC\text{ i } A_1B_1C_1,$
2. będącej sumą (złączeniem) trójkątów $ABC\text{ i } A_1B_1C_1.$

Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt $(-1,-1)$, a jednym z wierzchołków jest punkt $(-5,-1)$. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Wyznaczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego wynosi 8 cm, a długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 20 cm.

Wyznacz pole ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki mają długości $2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2}.$

Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 16 i 9. Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ poprowadzono wysokości $AM \text{ i }BN.$ Ponadto punkt $P$ jest środkiem boku $AB$ $\text{oraz }|\angle ACB| = 60^{\circ}.$ Udowodnić, że trójkąt $MNP$ jest równoboczny.