Zadania konkursowe
z etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

W trójkącie podstawa ma długość 60 cm. Wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 12 cm, a środkowa poprowadzona do tej podstawy ma długość 13 cm. Wyznacz długości pozostałych boków tego trójkąta.
Uwaga: Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego do tego wierzchołka boku.

W okręgu o środku $O$ średnica $AB$ i cięciwa $CD$ przecinają się w punkcie $M.$ Miara kąta $CMB$ jest równa $75^{\circ}$, a miara kąta środkowego opartego na łuku $BC$ (bez punktów $A\text{ i } D$) wynosi $58^{\circ}.$ Wyznacz miarę kąta wpisanego $ACD.$

W okrąg o promieniu 6 cm wpisano ośmiokąt foremny. Wyznacz długość jego boku i pole tego ośmiokąta.

Dany jest trójkąt $OAB,$ gdzie $A = (-8,0),\; B = (0,-8) \text{ i } O = (0,0).$ Niech $A_1$ będzie obrazem punktu $A$ w symetrii osiowej względem prostej $OB,$ $B_1$ obrazem punktu $B$ w symetrii osiowej względem prostej $OA$ $\text{i } O_1$ będzie obrazem punktu $O$ w symetrii osiowej względem prostej $AB.$ Wyznacz pole trójkąta $O_1A_1B_1.$

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego jest równa 4 cm, a promień okręgu opisanego jest równy 10 cm.

W trójkącie $ABC$ miara kąta $BAC$ jest równa $60^{\circ},$ zaś kąt $ACB$ ma miarę dwa razy większą od miary kąta $ABC.$ W trójkącie tym poprowadzono wysokości $AK\text{ i } BL.$ Wyznacz miary katów $CLK\text{ i } CKL.$