LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2005/2006

Zadania konkursowe z etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum
Zadanie 1
W trójkącie podstawa ma długość 60 cm. Wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 12 cm, a środkowa poprowadzona do tej podstawy ma długość 13 cm. Wyznacz długości pozostałych boków tego trójkąta.
Uwaga: Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego do tego wierzchołka boku.

Rozwiązanie Jasia Rosy

Zadanie 2
W okręgu o środku O średnica AB i cięciwa CD przecinają się w punkcie M. Miara kąta CMB jest równa 75°, a miara kąta środkowego opartego na łuku BC (bez punktów A i D) wynosi 58°. Wyznacz miarę kąta wpisanego ACD.

Rozwiązanie Krzysia Rosy

Zadanie 3
W okrąg o promieniu 6 cm wpisano ośmiokąt foremny. Wyznacz długość jego boku i pole tego ośmiokąta.

Rozwiązanie Stasia Rosy

Zadanie 4
Dany jest trójkąt OAB, gdzie A = (-8,0), B = (0,-8) i O = (0,0). Niech A1 będzie obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej OB, B1 obrazem punktu B w symetrii osiowej względem prostej OA i O1 będzie obrazem punktu O w symetrii osiowej względem prostej AB. Wyznacz pole trójkąta O1A1B1.

Rozwiązanie Marleny Rozenberg

Zadanie 5
Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego jest równa 4 cm, a promień okręgu opisanego jest równy 10 cm.

Zadanie 6
W trójkącie ABC miara kąta BAC jest równa 60°, zaś kąt ACB ma miarę dwa razy większą od miary kąta ABC. W trójkącie tym poprowadzono wysokości AK i BL. Wyznacz miary katów CLK i CKL.

Uwaga1: Wszystkie odpowiedzi do zadań powinny być uzasadnione.
Uwaga2: Konkurs trwa 90 minut.
Uwaga3: Nie można używać kalkulatorów.