Zadanie 1
Wyznacz wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez iloczyn swoich cyfr.
Zadanie 2
Rozwiąż arytmograf: $\text{AB + BC + CA = ABC}$.
Zadanie 3
Suma trzynastu różnych liczb naturalnych jest równa 92. Jakie to są liczby?
Zadanie 4
Mamy 51 takich liczb, że ich iloczyn jest dodatni i iloczyn każdych czterech z nich jest też dodatni. Pokaż, że każda z tych liczb jest dodatnia.
Zadanie 5
Udowodnij, że wśród dowolnych różnych 53 liczb całkowitych dodatnich, których suma nie przekracza 2007 można wybrać takie dwie liczby, że ich suma jest równa 53.
Zadanie 6
Jaki wielokąt ma tyle samo przekątnych co boków?
Zadanie 7
Ile jest różnych prostokątów, których boki wyrażają się liczbami całkowitymi, a pole wynosi 60?
Zadanie 8
Znajdź liczbę, która jest równa podwojonej sumie swoich cyfr.
Zadanie 9
Liczby naturalne od 1 do 100 zapisać jedna za drugą tak, by różnica między kolejnymi sąsiadami wynosiła 2 lub 3.
Zadanie 10
Ile jest liczb czterocyfrowych, które nie dzielą się przez 1000 i których pierwsza lub ostatnia cyfra jest parzysta?
Zadanie 11
Znajdź prostokąt i kwadrat o bokach całkowitych i o równych polach takie, że bok
kwadratu jest o 3 większy od wysokości prostokąta.
Zadanie 12
Czterech chłopców miało razem 45 zł. Jeżeli pierwszemu dodamy 2 zł, drugiemu odejmiemy 2 zł, trzeciemu podwoimy ilość jego pieniędzy, a czwartemu zmniejszymy ilość pieniędzy do połowy, to wtedy wszyscy będą mieli jednakową ilość pieniędzy. Ile złotych miał każdy z chłopców?
Zadanie 13
Moje oszczędności stanowią trzy czwarte twoich. Dziesiąta część twojej kwoty dodana do czterech piątych mojej daje 210 zł. Ile złotych ma każdy z nas?
Zadanie 14
-Joasiu, podwyższam ci kieszonkowe o 10 zł - powiedział tata do córki.
-To teraz w ciągu czterech miesięcy dostanę tyle samo pieniędzy, ile przedtem w ciągu pięciu miesięcy - odpowiedział córka.
Ile złotych kieszonkowego będzie teraz dostawała Joasia?
-To teraz w ciągu czterech miesięcy dostanę tyle samo pieniędzy, ile przedtem w ciągu pięciu miesięcy - odpowiedział córka.
Ile złotych kieszonkowego będzie teraz dostawała Joasia?
Zadanie 15
Chłopiec mówi: Mam tylu braci, ile sióstr.
Jego siostra powiada: Mam trzy razy więcej braci niż sióstr.
Ilu było chłopców, a ile dziewcząt w tej rodzinie?
Jego siostra powiada: Mam trzy razy więcej braci niż sióstr.
Ilu było chłopców, a ile dziewcząt w tej rodzinie?
Zadanie 16
Wyznaczyć ostatnią cyfrę liczby $2^{100} + 3^{100} + 5^{100}.$
Zadanie 17
Na pustej kartce papieru zaznaczaj kolejno kropki: niebieską, czarną, czerwoną, niebieską, czarną, czerwoną, i tak dalej, aż do dziesiątej kropki niebieskiej. Ile kropek będzie na kartce?
Zadanie 18
Podać dokładny czas, w którym wskazówki zegara, godzinowa i minutowa, pokrywają się między godzina czwartą, a piątą.
Zadanie 19
Wypisujemy w porządku rosnącym wszystkie te dodatnie liczby całkowite, które są równe iloczynowi wszystkich swoich dzielników właściwych (tzn. różnych od 1 i od danej liczby). Jaka liczba wypisana jest na szóstym miejscu?
Zadanie 20
Rozszyfrować równość
$\ast \ast + \ast \ast \ast = \ast \ast \ast \ast$
jeśli wiadomo, że oba składniki i suma nie zmienią się, jeśli wszystkie trzy liczby przeczytać z prawa na lewo.
$\ast \ast + \ast \ast \ast = \ast \ast \ast \ast$
jeśli wiadomo, że oba składniki i suma nie zmienią się, jeśli wszystkie trzy liczby przeczytać z prawa na lewo.
Zadanie 21
W poniższych zapisach niektóre cyfry zastąpiono symbolem $\ast$. Odtwórz prawidłowe zapisy.
(a)
$\begin{array}{ccccccc}
& & & &\ast&2&\ast&3\\
\times& & & & & &\ast&\ast&\\
\hline
& & &\ast&\ast&\ast &8&7 \\
+& &\ast&\ast&\ast&\ast &\ast&\ast\\
\hline
& &2&\ast&0&0 &4&\ast
\end{array}$
(b)
$\begin{array}{ccc}
&\ast&\ast\\
+&\ast&\ast&\\
\hline
1&9&7
\end{array}$
(c)
$\begin{array}{ccc}
& &\ast&\ast\\
\times& &\ast&\ast& &\\
\hline
& &\ast&\ast\\
+&\ast&\ast& && \\
\hline
&\ast&\ast&6
\end{array}$
Zadanie 22
Mama zostawiła swoim synom: Tomkowi, Michałowi i Jackowi cukierki, aby rozdzielili je między siebie po powrocie ze szkoły do domu. Pierwszy przyszedł Tomek, wziął $\frac{1}{3}$ cukierków i wyszedł, drugi przyszedł Michał, wziął $\frac{1}{3}$ cukierków, które pozostały i wyszedł, na końcu przyszedł Jacek, wziął $\frac{1}{3}$ cukierków, które pozostały. Ile było cukierków jeśli Jacek wziął 4 cukierki?
Zadanie 23
Parę tygodni przed doroczną wyprzedażą właściciel sklepu z meblami podniósł ceny o 20%. Miał nadzieję, że gdy przy okazji wyprzedaży obniży je znów o 20%, wydadzą się one bardziej atrakcyjne. Czy jest to rzeczywiście atrakcyjna oferta?
Zadanie 24
Wśród ośmiu jednakowo wyglądających monet jedna jest fałszywa, a mianowicie lżejsza od pozostałych. Za pomocą dwukrotnego ważenia na wadze szalkowej bez korzystania z odważników znajdź tę monetę. Opisz jak to wykonać
Zadanie 25
O ile procent należy zwiększyć wydajność zakładu pracy, aby to co miał wykonać w ciągu 30 dni, mógł wykonać w ciągu 25 dni?
Zadanie 26
Czy istnieją dwie liczby całkowite $a\text{ i }b$ różne od zera takie, że jedna z nich dzieli się przez ich sumę, a druga przez różnicę?
Zadanie 27
Przedstaw liczbę 2520 w postaci sumy 12 kolejnych wielokrotności liczby 12.
Zadanie 28
Piotr ma w skarbonce monety 10, 20 i 50-groszowe. Monet 10-groszowych ma 10 razy więcej niż monet 20-groszowych, a monet 20-groszowych ma 20 razy więcej niż monet 50-groszowych. Ile pieniędzy ma w skarbonce Piotr, jeśli wiadomo, że to więcej niż 50 złotych a mniej niż 90 złotych?
Zadanie 29
W pewnej klasie można wskazać czterech uczniów, którzy urodzili się w tym samym dniu tygodnia. Ile najwięcej uczniów może być w klasie?
Zadanie 30
W pewnej klasie jest trzydziestu uczniów. Wśród nich jest pięciu takich, którzy mają brata i siostrę oraz siedmiu takich, którzy nie mają brata ani siostry. Ilu uczniów tej klasy ma brata, jeśli wiadomo,
że trzynastu ma siostrę?
Zadanie 31
Wśród 35 odważników są tylko odważniki dwukilowe i pięciokilowe. Ile jest odważników każdego rodzaju, jeśli wiadomo, że wszystkie odważniki dwukilogramowe ważą tyle samo co wszystkie odważniki pięciokilogramowe?
Zadanie 32
Ala, Ela, Jola, Ola, Tola i Ula mieszkają w bloku czteropiętrowym. Ala mieszka wyżej niż Ela, ale niżej niż Jola. Ola i Tola mieszkają niżej niż Ula. Ola mieszka wyżej niż Ala, a Tola wyżej niż Jola. Która z dziewczynek mieszka na pierwszym piętrze?
Zadanie 33
Ile razy trzeba łamać czekoladę, aby podzielić tabliczkę $4\times 6$ kostki na 24 kostki? Zakładamy, że za każdym razem łamiemy jeden kawałek na dwie części.
Życzymy udanych wakacji!
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej w roku szkolnym 2007/2008.
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej w roku szkolnym 2007/2008.