Zadanie 1
Odtworzyć działanie:
$ \begin{array}{cccccccccc} & & & & & \text{M} & \text{I} &\text{N} & \text{U} & \text{S} \\ & & & & \times & \text{M} & \text{I} &\text{N} & \text{U} & \text{S} \\ \hline & & & & & \ast & \ast &\ast & \ast & \text{S} \\ & & &\ast & \ast & \ast &\ast & \ast & \text{U} & \\ & & & \ast &\ast &\ast & \ast & \text{N} & & \\ & & \ast &\ast &\ast & \ast & \text{I}& & & & \\ + & \text{M} & \text{I} &\text{N} & \text{U} & \text{S} \\ \hline & \ast &\ast &\ast & \ast & \ast &\ast &\ast & \ast \end{array}$
$ \begin{array}{cccccccccc} & & & & & \text{M} & \text{I} &\text{N} & \text{U} & \text{S} \\ & & & & \times & \text{M} & \text{I} &\text{N} & \text{U} & \text{S} \\ \hline & & & & & \ast & \ast &\ast & \ast & \text{S} \\ & & &\ast & \ast & \ast &\ast & \ast & \text{U} & \\ & & & \ast &\ast &\ast & \ast & \text{N} & & \\ & & \ast &\ast &\ast & \ast & \text{I}& & & & \\ + & \text{M} & \text{I} &\text{N} & \text{U} & \text{S} \\ \hline & \ast &\ast &\ast & \ast & \ast &\ast &\ast & \ast \end{array}$
Zadanie 2
Ile razy w ciągu doby w zegarku ze wskazówkami wskazówki godzinowa, minutowa i sekundowa pokrywają się (wszystkie!)?
Zadanie 3
Liczba sześciocyfrowa jest podzielna przez 8. Jaką największą sumę cyfr może ona mieć?
Zadanie 4
Wyznacz wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez iloczyn swoich cyfr.
Zadanie 5
Wyznaczyć wszystkie rozwiązania w liczbach całkowitych równania $1999x^2 - 2000y^2 = 2001.$
Zadanie 6
Ze zbioru liczb naturalnych od 1 do 1000 wybrano 860 liczb. Uzasadnić, że wśród wybranych liczb, można znaleźć dwie liczby, których iloczyn jest podzielny przez 21.
Zadanie 7
Czy istnieją takie dwie liczby całkowite różne od zera, że jedna z nich dzieli się przez ich różnicę, a druga z nich dzieli się przez ich sumę?
Zadanie 8
Liczby naturalne $a, b$ spełniają równanie $34a = 43b.$ Pokazać, że liczba $a + b$ jest złożona.
Zadanie 9
Uzasadnić, że liczba 45-cyfrowa, w zapisie której występuje jedna jedynka, dwie dwójki, trzy trójki, ..., dziewięć dziewiątek, nie może być kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie 10
Liczba naturalna $n$ jest taka, że liczba $n^2 + 1$ jest liczbą dziesięciocyfrową. Uzasadnić, że w zapisie dziesiętnym liczby $n^2 + 1$ występują co najmniej dwie jednakowe cyfry.
Zadanie 11
Czy można wybrać 5 liczb całkowitych tak, aby wszystkie możliwe sumy par tych liczb dały dziesięć kolejnych liczb całkowitych?
Zadanie 12
Na tablicy napisano liczbę 1. Co sekundę liczbę ścieramy i w jej miejsce wpisujemy sumę liczby i jej sumy cyfr. Czy povpewnym czasie możemy uzyskać na tablicy liczbę 123456?
Zadanie 13
Podać przykład liczby dwudziestocyfrowej $a,$ której suma cyfr jest równa 10, natomiast suma cyfr liczby $7a$ jest równa 70, zaś suma cyfr liczby $19a$ jest równa 19. Czy istnieje tylko jedna liczba o tej własności?
Zadanie 14
Na bokach $AB \text{ i } BC$ równoległoboku $ABCD$ zbudowano trójkąty równoboczne $ABM \text{ i } BCN.$ Uzasadnić, że trójkąt $DMN$ jest równoboczny.
Zadanie 15
W trójkąt $ABC$ wpisano okrąg styczny do boków trójkąta w punktach $L, M, N.$ Uzasadnić, że trójkąt $LMN$ jest ostrokątny.
Zadanie 16
W trójkącie $ABC$ dwusieczna $AD,$ wysokość $BE$ i symetralna boku $AB$ przecinają się w jednym punkcie. Znaleźć miarę kąta $BAC.$
Zadanie 17
Odcinek $BD$ jest dwusieczną kąta $AB$C w trójkącie $ABC.$ Okrąg opisany na trójkącie $BDC$ przecina bok $AB$ w punkcie $E,$ a okrąg opisany na trójkącie $ABD$ przecina bok $BC$ w punkcie $F.$ Udowodnić, że $|AE| = |CF|.$
Zadanie 18
W wypukłym czworokącie $ABCD$ kąty wewnętrzne przy wierzchołkach $A\text{ i }D $ są równe. Symetralne boków $AB\text{ i }CD$ przecinają się w punkcie $P$ leżącym na boku $AD.$ Udowodnić, że przekątne $AC\text{ i } BD$ są równej długości.
Zadanie 19
W wypukłym czworokącie $ABCD$ przekątne $AC\text{ i } BD$ są równej długości. Pokazać, że prosta $MN,$ gdzie $M$ - środek boku $BC$, $N$ - środek boku $AD,$ tworzy równe kąty z przekątnymi.
Zadanie 20
W trójkącie $AB $C poprowadzono wysokości $AH\text{ i } CP.$ Wyznaczyć miarę kąta wewnętrznego trójkąta $ABC$ przy wierzchołku $B,$ jeśli $|AC| = 2|PH|.$
Zadanie 21
W trójkącie $ABC$ odcinki $AA_1, BB_1, CC_1$ są wysokościami tego trójkąta, a odcinki $AA_0, BB_0, CC_0$ są środkowymi. Uzasadnić, że długość łamanej $A_0BA_1CA_0AA_1BA_0CA_1AA_0$ jest równa obwodowi trójkąta $ABC.$
Zadanie 22
Wiadomo, że $a + b + c = 5 \text{ i } ab + ac + bc = 5.$ Ile może równa się $a^2 + b^2 + c^2?$
Zadanie 23
Rozwiąż następujący układ równań.
$\begin{cases} x=yzt \\x+y=zt \\x+y+z=t \\x+y+z+t=1 \end{cases}$
Zadanie 24
Uzasadnić, że jeśli $x, y\in [0,1]$, to $\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\le 1.$
Zadanie 25
Uzasadnić, że jeśli $a \gt0, b\gt 0 \text{ i } a+b\le 2$, to $\frac{a}{b+ab}+\frac{b}{a+ab}\ge 1.$
Zadanie 26
Dwaj mędrcy napisali na siedmiu kartkach liczby od 5 do 11 po jednej na każdej kartce i na różnych kartkach różne liczby. Następnie włożyli je do urny. Pierwszy z nich wyciągnął trzy kartki, a następnie drugi wyciągnął dwie kartki.
Pierwszy rzekł do drugiego: Wiem, że suma liczb na Twoich kartkach jest parzysta.
Ile wynosi suma liczb na kartkach pierwszego mędrca?
Pierwszy rzekł do drugiego: Wiem, że suma liczb na Twoich kartkach jest parzysta.
Ile wynosi suma liczb na kartkach pierwszego mędrca?
Życzymy udanych wakacji!
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej w roku szkolnym 2008/2009.
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej w roku szkolnym 2008/2009.