LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU IV
DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

ZADANIE 3

TRE¦Ć:

Uzasadnij, że suma kwadratów dwóch liczb nieparzystych nie może być kwadratem liczby całkowitej.

 ROZWIˇZANIE:

Załóżmy że a i b to liczby nieparzyste.
Możemy je zapisać tak:
a=2*n+1
b=2*k+1
 (gdzie k i n to liczby całkowite)
Liczba C będ±ca sum± kwadratów dwóch liczb nieparzystych daje resztę 2 dzielenia przez 4, bo:

C=a2+b2 =(2n+1)2+(2k+1)2= 4n2+4n+1+4k2+4k+1=
=4n2+4n+4k2+4k+2 =4(n2+n+k2+k)+2

Pokażę że kwadrat jakiejkolwiek liczby całkowitej c
nie może dać reszty 2 z dzielenia liczby przez 4.

PRZYPADEK 1

c dzieli się przez 4
c=4h
h to liczba całkowita
c2=16h2
c2 daje resztę 0 z dzielenia przez 4, czyli nie 2 i wobec tego C±c2

PRZYPADEK 2

c daje resztę 1 z dzielenia liczby przez 4
c=4h+1
h to liczba całkowita
c2=(4h+1)2=16h2+8h+1
4(4h2+2h)+1
c2 daje resztę 1 z dzielenia przez 4, czyli też C±c2

PRZYPADEK 3

c daje resztę z dzielenia liczby przez 4.
c=4h+2
h to liczba całkowita
c2=(4h+2)2
c2=16h2+16h+4
4(4h+4h+1)
c2 daje resztę 0 z dzielenia przez 4, czyli nie 2, więc C±c2

PRZYPADEK 4

c daje resztę 3 z dzielenia przez 4.
c=4h+3
h to liczba całkowita
c2=(4h+3)2
c2=16h2+24h+9
4(4h2+6h)+9=4(4h2+6h)+2*4+1
c2 daje resztę 1 z dzielenia przez 4, czyli C±c2.
W żadnym z przypadków kwadrat liczby nie daje reszty 2 z dzielenia przez 4, więc kwadrat liczby całkowitej nigdy nie będzie sum± kwadratów dwóch liczb nieparzystych.