ZADANIE 3

TREŚĆ:

Uzasadnij, że suma kwadratów dwóch liczb nieparzystych nie może być kwadratem liczby całkowitej.

ROZWIĄZANIE:

Załóżmy że a i b to liczby nieparzyste.
Możemy je zapisać tak:
a="2*n+1 b="2*k+1 (gdzie k i n to liczby całkowite)

---

Liczba C będąca sumą kwadratów dwóch liczb nieparzystych daje resztę 2 dzielenia przez 4, bo:

C=a²+b² =(2n+1)²+(2k+1)²= 4n²+4n+1+4k²+4k+1=" =4n²+4n+4k²+4k+2 =4(n²+n+k²+k)+2

---

Pokażę że kwadrat jakiejkolwiek liczby całkowitej c
nie może dać reszty 2 z dzielenia liczby przez 4.

PRZYPADEK 1

c dzieli się przez 4
c="4h h to liczba całkowita
c²=16h²
c² daje resztę 0 z dzielenia przez 4, czyli nie 2 i wobec tego Cąc²

PRZYPADEK 2

c daje resztę 1 z dzielenia liczby przez 4
c="4h+1 h to liczba całkowita
c²=(4h+1)²=16h²+8h+1
4(4h²+2h)+1
c² daje resztę 1 z dzielenia przez 4, czyli też Cąc²

PRZYPADEK 3

c daje resztę z dzielenia liczby przez 4.
c="4h+2 h to liczba całkowita
c²=(4h+2)²
c²=16h²+16h+4
4(4h+4h+1)
c² daje resztę 0 z dzielenia przez 4, czyli nie 2, więc Cąc²

PRZYPADEK 4

c daje resztę 3 z dzielenia przez 4.
c="4h+3 h to liczba całkowita
c²=(4h+3)²
c²=16h²+24h+9
4(4h²+6h)+9="4(4h2+6h)+2*4+1
c² daje resztę 1 z dzielenia przez 4, czyli Cąc².

---

W żadnym z przypadków kwadrat liczby nie daje reszty 2 z dzielenia przez 4, więc kwadrat liczby całkowitej nigdy nie będzie sumą kwadratów dwóch liczb nieparzystych.