LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 1999/2000

Zadania konkursowe w etapie IV dla uczniów klas VIszkół podstawowych
Zadanie 1
Wypisano po kolei wszystkie liczby całkowite dodatnie.
Jaka cyfra znajduje się na 2000 miejscu?

Zadanie 2
Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 120, iloczyn skrajnych liczb wynosi 24. Podaj te liczby.

Rozwiązanie Agnieszki Niedzielskiej
Zadanie 3
Uzasadnij, że suma kwadratów dwóch liczb nieparzystych nie może być kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie Artura Borkowicza
Zadanie 4
Pewien tyran rzekł do rycerza-matematyka (młodego):"Masz szansę uwolnić uwięzioną w baszcie królewnę i uratować swoje życie, jeśli odgadniesz trzy liczby jednocyfrowe a, b, c, które ja pomyślę.
Aby Ci ułatwić walkę o uwolnienie królewny i swoje życie, proponuję byś podał mi trzy liczby x, y, z, a ja podam Ci wartość wyrażenia ax+by+cz."
Czy młody rycerz-matematyk ma szansę uwolnić królewnę i uratować swoje życie?

Zadanie 5
Wpisz w każdą komórkę kwadratu po jednej cyfrze różnej od zera, a otrzymasz cztery liczby dwucyfrowe: dwie poziome i dwie pionowe.
Wpisz takie cyfry, aby suma tych czterech liczb była równa 67.

   
   


Rozwiązanie Kingi Czyżewskiej
Zadanie 6
Andrzej może zjeść mały tort w 10 minut, babkę - w ciągu 8 minut, a butelkę mleka wypija w ciągu 15 minut. Tomek umie te same "czynności" wykonać odpowiednio w ciągu 2, 3 i 4 minut.
W jakim czasie mogą oni spożyć tort, babkę i wypić butelkę mleka czyniąc to wspólnie?

Rozwiązanie Ani Górzyńskiej
Zadanie 7
Iloma zerami kończy się zapis dziesiątkowy liczby, która jest iloczynem wszystkich liczb od 12 do 102?

Zadanie 8
Uczestnicy konkursu matematycznego mogą otrzymać za odpowiedź na każde z sześciu pytań 0, 1, 2 lub 3 punkty.
Istnieje tylko jeden sposób uzyskania 18 punktów oraz sześć sposobów zdobycia w tym konkursie 17 punktów.
A na ile sposobów można zgromadzić 16 punktów?

Rozwiązanie Agnieszki Jabłońskiej
Zadanie 9
Trójkąt równoramienny, w którym miara kąta zawartego między ramionami wynosi 36°, podziel na dwa trójkąty równoramienne.

Zadanie 10
W jednym mieszkaniu mieszkają 123 osoby, które razem mają 3818 lat. Czy można wybrać z tego domu stu mieszkańców, aby razem mieli nie mniej niż 3100 lat?

Zadanie 11
W Mamy 5 kartek papieru. Niektóre z nich dzielimy na 5 części. Następnie niektóre z nich znów dzielimy na 5 części itd. Powtarzając to postępowanie kilka razy otrzymujemy pewną liczbę kartek. Czy ta liczba może być równa 2000, a czy może być równa 1999 lub 2001?

Zadanie 12
Na stole leży 25 patyczków. Dwie osoby grają w następującą grę: każda z nich może wziąć w jednym ruchu 1, 2 lub 3 patyczki. Osoby biorą patyczki tak długo aż wszystkie zostaną zebrane ze stołu. Wygrywa ta osoba, która zgromadzi nieparzystą liczbę patyczków. Która osoba (rozpoczynająca czy druga osoba) ma strategię wygrywającą?

Zadanie 13
Na tablicy napisano w dowolnym porządku liczby naturalne 1, 2, 3, ...,2000 (tzn. wszystkie liczby naturalne od 1 do 2000 i każdą tylko jeden raz) Wybieramy dwie z tych liczb, ścieramy je i wpisujemy na tablicy ich różnicę. Proces kontynuujemy tak długo, aż na tablicy zostanie tylko jedna liczba. Czy można tak wybierać liczby na poszczególnych etapach by ostatnią liczbą jaka zostanie na tablicy było 0?

Rozwiązanie Przemka Kołowskiego
Zadanie 14
Posługując się cyframi 4 i 5 (każdą z nich wolno użyć tylko raz) i znanymi Ci znakami matematycznymi, podaj jak najwięcej różnych liczb dodatnich zapisanych za pomocą tych cyfr.