LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000

Zadanie 5

Liczby naturalne a i b są takie, że a jest mniejsze od b
i najmniejsza wspólnawielokrotność liczb a i b jest 8 razy większa
od największego wspólnego dzielnika liczb a i b.
Pokazać, że b=8a.

Rozwiązanie

Niech NWD(a,b)=d.
Niech a/d=x i b/d=y.
Wtedy a=d*x,   b=d*y,
oraz   NWD(x,y)=1  i   NWW(a,b)=x*y*d.
Ponieważ a<b, więc x<y.
Z treści zadania wiemy, że NWW(a,b)=8*NWD(a,b)
to znaczy: x*y*d=8*d,
stąd x*y=8
Jedynymi liczbami naturalnymi spełniającymi warunki:
x*y=8, x<y i NWD(x,y)=1
są: x=1 , y=8.
Wtedy a=d*1 i b=d*8
czyli b=8*a.

Kinga Czyżewska kl.IIA