Prezent wakacyjny
dla uczniów gimnazjum

Dwucyfrowa liczba została podzielona przez sumę swoich cyfr. Jaka jest największa możliwa wartość reszty?

Czy istnieją liczby całkowite $x$, $y$ spełniające równanie:

1. $x^2+1999=y^2$
2. $x^2+2000=y^2$

Dwa tysiące liczb zapisanych jest jedna za drugą w jednym wierszu. Wiadomo, że suma każdych trzech kolejnych z nich jest równa 200. Pierwsza z nich jest równa 19, a ostatnia 99. Wyznaczyć pozostałe 1998 liczb.

Czy można liczby $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ zapisać w tablicy o 3 wierszach i 3 kolumnach tak aby suma każdych dwóch sąsiednich liczb w każdym wierszu oraz w każdej kolumnie była liczbą pierwszą?

Liczby naturalne $a$ i $b$ są takie, że $a$ jest mniejsze od $b$. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $a$ i $b$ jest $8$ razy większa od największego wspólnego dzielnika liczb $a$ i $b$.
Pokazać, że $b=8a$.

Czy liczby naturalne od 1 do 101 można ustawić jedną za druga tak, że suma każdych dwóch sąsiednich jest liczbą pierwszą?

Czy liczby wymienione poniżej są liczbami pierwszymi?

1. $2\underbrace{55...5}_{99}3$
2. $2\underbrace{55...5}_{100}3$
3. $2\underbrace{55...5}_{101}3$
4. $347777743$

Podać przykład liczby, która dzieli się przez $1999$ i której suma cyfr też dzieli się przez $1999$.

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że sumy cyfr każdej z nich dzielą się przez $1999$?

Uzasadnić, że wynik poniższego działania jest liczbą całkowitą podzielną przez 1998.
$\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...++\frac{1}{1998}\right)\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 1998$

Liczbę naturalną pomnożono przez każdą z jej cyfr. W rezultacie tego mnożenia otrzymano liczbę 1995. Wyznacz tę liczbę.

Dla liczby naturalnej $n$ przez $p(n)$ oznaczmy iloczyn cyfr liczby $n$. Na przykład $p(23)=6$, $p(100)=0$, $p(1999)=729.$
Obliczyć $p(1)+p(2)+p(3)+...+p(2000).$

Uzasadnić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $x^2-2x+12$ jest liczbą dodatnią.

Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia $4x^2-4x+11$.

Wiadomo, że $a+b+c > 0$, $ab+bc+ca > 0$ i $abc > 0.$ Uzasadnić, że $a>0, b>0, c>0.$

Pokazać, że jeśli $a=b+1$, to $(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)\cdot...\cdot (a^{32}+b^{32})=a^{64}-b^{64}.$

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się.
Wiadomo, że $|AB|=|BC|=|CD|=|AD|$.

1. Udowodnić, że odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się pod kątem prostym.
2. Oblicz pole figury $ABCD$ jeśli $|AC|=10 \text{ cm}$ i $|BD|=15 \text{ cm}.$

Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$.
Punkt $A_1$ jest symetryczny do punktu $A$ względem punktu $B$,
punkt $B_1$ jest symetryczny do punktu $B$ względem punktu $C$,
punkt $C_1$ jest symetryczny do punktu $C$ względem punktu $A$.
Ile razy pole trójkąta $A_1B_1C_1$ jest większe od pola trójkąta $ABC$?

Na przyjęciu imieninowym, w którym uczestniczy 14 dzieci, podano duży tort. Pierwsze dziecko wzięło $\frac{1}{5}$ tortu, drugie dziecko $\frac{1}{6}$ z tego co zostało. Zjadłszy swoje porcje natychmiast się ulotniły. Wtedy pozostałe 12 dzieci postanowiło resztę tortu podzielić równo między siebie. Jaką część całego tortu każde z nich otrzymało?

Na tablicy mamy 2000 cyfr równych $1$ i 1999 cyfr równych $2$. Ruch polega na wytarciu z tablicy dwóch cyfr i wpisaniu jednej cyfry według reguły: jeśli cyfry są jednakowe to na tablicę wpisujemy cyfrę $2$, a jeśli różne to na tablicy piszemy cyfrę $1$. W grze biorą udział dwie osoby, które wykonują na przemian swoje ruchy tak długo aż na tablicy zostanie tylko jedna cyfra. Jeśli będzie to cyfra $1$ to wygrywa zawodnik zaczynający, w przeciwnym razie wygrywa drugi zawodnik. Jak sądzisz, który z nich ma szansę wygrania tej gry?

Rozwiąż rebus: $\text{REBUS=(R+E+B+U+S)}^3.$

Danych jest 14 liczb: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -7, -8, -9, -10, -11.$ Dwóch zawodników bierze po jednej liczbie tak długo, aż wszystkie liczby zostaną zabrane. Wygrywa ten zawodnik, u którego bezwzględna wartość z sumy tych liczb jest większa. Który z zawodników może wygrać?