|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 1999/2000
Prezent wakacyjny 
|
| Zadanie 1 |
Dwucyfrowa liczba została podzielona przez sumę swoich cyfr.
Jaka jest największa możliwa wartość reszty?
|
| Zadanie 2 |
Czy istnieją liczby całkowite x, y spełniające równanie
a) x2+1999=y2;
b) x2+2000=y2 ?
|
| Zadanie 3 |
Dwa tysiące liczb zapisanych jest jedna za drugą w jednym wierszu.
Wiadomo, że suma każdych trzech kolejnych z nich jest równa 200. Pierwsza z nich jest równa 19, a ostatnia 99. Wyznaczyć pozostałe 1998 liczb.
|
| Zadanie 4 |
Czy można liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zapisać w tablicy o 3 wierszach i 3 kolumnach tak aby suma każdych dwóch sąsiednich liczb w każdym wierszu oraz w każdej kolumnie była liczbą pierwszą?
|
| Zadanie 5 |
Liczby naturalne a i b są takie, że a jest mniejsze od b.
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b jest 8 razy większa od największego wspólnego dzielnika liczb a i b.
Pokazać, że b=8a.
|
| Rozwiązanie Kingi Czyżewskiej |
| Zadanie 6 |
Czy liczby naturalne od 1 do 101 jedną za druga tak , że suma każdych dwóch sąsiednich jest liczbą pierwszą?
|
| Rozwiązanie Ani Górzyńskiej |
| Zadanie 7 |
Czy liczby
są liczbami pierwszymi?
|
| Rozwiązanie Izy Gralli |
| Zadanie 8 |
Podać przykład liczby, która dzieli się przez 1999 i której suma cyfr też dzieli się przez 1999.
|
| Zadanie 9 |
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że sumy cyfr każdej z nich dzielą się przez 1999?
|
| Rozwiązanie Radka Mastalerza |
| Zadanie 10 |
Uzasadnić, że liczba
jest liczbą całkowitą podzielną przez 1998.
|
| Zadanie 11 |
Liczbę naturalną pomnożono przez każdą z jej cyfr. W rezultacie tego mnożenia otrzymano liczbę 1995. Wyznacz tę liczbę.
|
| Zadanie 12 |
Dla liczby naturalnej n przez p(n) oznaczmy iloczyn cyfr liczby n.
Na przykład p(23)=6, p(100)=0, p(1999)=729.
Obliczyć p(1)+p(2)+p(3)+...+p(2000).
|
| Rozwiązanie Pawła Kocyka |
| Zadanie 13 |
Uzasadnić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x wyrażenie x2-2x+12 ma wartość dodatnią.
|
| Zadanie 14 |
Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 4x2-4x+11.
|
| Zadanie 15 |
Wiadomo, że a+b+c>0, ab+bc+ca>0 i abc>0.
Uzasadnić, że a>0, b>0, c>0.
|
| Zadanie 16 |
Pokazać, że jeśli a=b+1, to
(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)...(a32+b32)=a64-b64
|
| Rozwiązanie Pawła Kukiełczyńskiego |
| Zadanie 17 |
Odcinki AC i BD przecinają się. Wiadomo, że AB=BC=CD=AD. Udowodnić, że odcinki AC i BD przecinają się pod kątem prostym.
Oblicz pole figury ABCD jeśli |AC|=10cm i |BD|=15cm.
|
| Zadanie 18 |
Dany jest trójkąt równoboczny ABC. A1jest punktem symetrycznym do A względem punktu B, B1jest punktem symetrycznym do B względem punktu C, C1jest punktem symetrycznym do C względem punktu A.
Ile razy pole trójkąta A1B1C1 jest większe od pola trójkąta ABC?
|
| Zadanie 19 |
Dana jest tablica kwadratowa o wymiarach 8x8 zbudowana z jednostkowych kwadracików. Czy spośród wszystkich środków tych jednostkowych kwadracików można wybrać 16 punktów tak, by żadne trzy z nich nie leżały na jednej prostej?
|
Zadanie 20
Na przyjęciu imieninowym, w którym uczestniczy 14 dzieci, podano duży tort. Pierwsze dziecko wzięło 1/5 tortu, drugie dziecko 1/6 z tego co zostało. Zjadłszy swoje porcje natychmiast się ulotniły. Wtedy pozostałe 12 dzieci postanowiło resztę tortu podzielić równo między siebie. Jaką część całego tortu każde z nich otrzymało?
|
| Rozwiązanie Rafała Mastalerza |
| Zadanie 21 |
Na tablicy mamy 2000 cyfr równych 1 i 1999 cyfr równych 2. Ruch polega na wytarciu z tablicy dwóch cyfr i wpisaniu jednej cyfry według reguły: jeśli cyfry są jednakowe to na tablicę wpisujemy cyfrę 2, a jeśli różne to na tablicy piszemy cyfrę 1. W grze biorą udział dwie osoby, które wykonują na przemian swoje ruchy tak długo aż na tablicy zostanie tylko jedna cyfra. Jeśli będzie to cyfra 1 to wygrywa zawodnik zaczynający, w przeciwnym razie wygrywa drugi zawodnik. Jak sądzisz, który z nich ma szansę wygrania tej gry?
|
| Zadanie 22 |
| Rozwiąż rebus: REBUS=(R+E+B+U+S)3
|
Zadanie 23
Danych jest 14 liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -7, -8, -9, -10, -11.
Dwóch zawodników bierze po jednej liczbie tak długo, aż wszystkie liczby zostaną zabrane. Wygrywa ten zawodnik, u którego bezwzględna wartość z sumy tych liczb jest większa.
Który z zawodników może wygrać?
|
