LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6

Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.

Rozwiązanie

Jeśli n jest liczbą naturalną, to sześcian tej liczby pomniejszony o tę liczbę jest równy

n3 - n

Po przekształceniu

n3 - n = n . (n2 - 1) = n . (n - 1) . (n + 1)

n3 - n = (n - 1) . n. (n + 1)

widzimy, że liczba n3 - n jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych (n - 1), n, (n + 1). Ponieważ co druga liczba naturalna jest podzielna przez 2 i co trzecia przez 3, więc wśród czynników (n - 1), n, (n + 1) występuje przynajmniej jedna liczba podzielna przez 2 i przynajmniej jedna podzielna przez 3. Ponadto liczby 2 i 3 są względnie pierwsze tzn. NWD(2,3)= 1, więc iloczyn (n - 1) . n. (n + 1) dzieli się przez 6.