Zadanie 1
Oblicz wartość wyrażenia: $\frac{|x|}{x}$.
Zadanie 2
Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury,
gdzie występujące łuki są półokręgami
$\text{oraz }|AB|=|BC|=|CD|=3\text{ cm.}$
gdzie występujące łuki są półokręgami
$\text{oraz }|AB|=|BC|=|CD|=3\text{ cm.}$
Zadanie 3
Na bokach kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$
zbudowano do wewnątrz jako na średnicach, półkola.
Obliczyć pole i obwód figury
będącej sumą części wspólnych par skonstruowanych półkoli.
zbudowano do wewnątrz jako na średnicach, półkola.
Obliczyć pole i obwód figury
będącej sumą części wspólnych par skonstruowanych półkoli.
Zadanie 4
Dany jest kwadrat o boku długości 4 cm. Z każdego wierzchołka jako ze środka skonstruowano koło o promieniu 4 cm.
Znaleźć pole figury będącej częścią wspólną tych kół.
Zadanie 5
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$,
w którym $|\angle BCA|=90^{\circ}$, $|AC|=3\text{ cm}$, $|BC|=4\text{ cm}.$
Oblicz obwód i pole figury, której brzeg składa się z półokręgów
zbudowanych na bokach $AB$, $AC$ i $BC$ jak na rysunku.
w którym $|\angle BCA|=90^{\circ}$, $|AC|=3\text{ cm}$, $|BC|=4\text{ cm}.$
Oblicz obwód i pole figury, której brzeg składa się z półokręgów
zbudowanych na bokach $AB$, $AC$ i $BC$ jak na rysunku.
Zadanie 6
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.
Zadanie 7
Uzasadnij, że jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $n^4+7\cdot(7+2n^2)$ dzieli się przez 64.
Zadanie 8
Uzasadnij, że jeśli $n$ jest liczbą pierwszą różną od 2 i 3, to liczba $n^2-1$ jest podzielna przez 24.
Zadanie 9
Oblicz:
- $\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot \text{...} \cdot \left(1-\frac{1}{2000^2}\right),$
- $1+\left(1+2\right)\cdot \left(1+2^2\right)\cdot \left(1+2^4\right)\cdot \text{...}\cdot \left(1+2^{64}\right).$
Zadanie 10
Niech $a$, $b$, $c$ będą liczbami rzeczywistymi takimi, że $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca.$ Uzasadnij, że $a=b=c.$
Zadanie 11
Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste $a$, $b$, $c$ spełniają równość $a+b+c=0$, to $a^3+b^3+c^3=3abc.$
Zadanie 12
Liczby rzeczywiste $a$, $b$ spełniają równości $a+b=1$ i $a^2+b^2=2.$ Oblicz wartość wyrażenia $a^4+b^4.$
Zadanie 13
Z wierzchołków $A$ i $C$ prostokąta $ABCD$ poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej $BD.$
Proste te dzielą przekątną na 3 równe części o długości 4 cm każda.
Oblicz długości boków prostokąta.
Zadanie 14
W trójkącie długości boków są równe 25 cm, 25 cm, 40 cm. Oblicz pole tego trójkąta oraz długości jego środkowych.
Zadanie 15
W trójkącie prostokątnym iloczyn długości boków jest dwukrotnie większy niż iloczynu długości wysokości tego trójkąta.
Wyznacz miary kątów w tym trójkącie.
Zadanie 16
W trójkącie prostokątnym $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$, dwusieczna kąta prostego
dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach: 25 cm i 15 cm. Oblicz długość dwusiecznej tego kąta.
Zadanie 17
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 cm i 8 cm.
Oblicz długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego.