|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2000/2001 Zadania do etapu II-go dla uczniów klas II gimnazjum | |||
|
Tematyka 1. Pole i obwód koła. 2. Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia. 3. Działania na wyrażeniach algebraicznych. i pierwiastkach. 4. Twierdzenie Pitagorasa z zastosowaniami. | |||
| Zadanie 1 | |||
|
Oblicz wartość wyrażenia:
| |||
| Rozwiązanie Mariusza Banacha | |||
| Zadanie 2 | |||
| Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury, gdzie występujące łuki są półokręgami oraz |AB|=|BC|=|CD|=3 cm. |  | ||
| Zadanie 3 | |||
| Na bokach kwadratu ABCD o boku długości a zbudowano do wewnątrz jako na średnicach, półkola. Obliczyć pole i obwód figury będącej sumą części wspólnych par skonstruowanych półokręgów. |  | ||
| Rozwiązanie Tytusa Szabelskiego | |||
| Zadanie 4 | |||
| Dany jest kwadrat o boku długości 4 cm. Z każdego wierzchołka jako ze środka skonstruowano koło o promieniu 4 cm. Znaleźć pole figury będącej częścią wspólną tych kół.
| |||
| Rozwiązanie Radka Mastalerza | |||
| Zadanie 5 | |||
| Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |<C|=90o, |AC|=3 cm, |BC|=4 cm. Oblicz obwód i pole figury, której brzeg składa się z półokręgów zbudowanych na bokach AB, AC i BC jak na rysunku. |  | ||
| Rozwiązanie Rafała Mastalerza | |||
| Zadanie 6 | |||
|
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.
| |||
| Rozwiązanie Izy Gralli | |||
| Zadanie 7 | |||
| Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą, to liczba n4+7.(7+2n2) dzieli się przez 64. | |||
| Zadanie 8 | |||
|
Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą pierwszą różną od 2 i 3, to liczba n2-1 jest podzielna przez 24. | |||
| Rozwiązanie Agnieszki Pankowskiej | |||
| Zadanie 9 | |||
Oblicz:
| |||
| Zadanie 10 | |||
|
Niech a, b, c będą liczbami rzeczywistymi takimi, że a2+b2+c2=ab+bc+ca. Uzasadnij, że a=b=c. | |||
| Rozwiązanie Moniki Rolnickiej | |||
| Zadanie 11 | |||
| Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste spełniają równość a+b+c=0, to a3+b3+c3=3abc.
| |||
| Zadanie 12 | |||
| Liczby rzeczywiste a, b spełniają równości a+b=1 i a2+b2=2. Oblicz wartość wyrażeniaa4+b4.
| |||
| Rozwiązanie Alicji Skockiej | |||
| Zadanie 13 | |||
| Z wierzchołków A i C prostokąta ABCD poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej BD. Proste te dzielą przekątną na 3 równe części o długości 4 cm każda. Oblicz długości boków prostokąta. | |||
| Rozwiązanie Jarka Staniszewskiego | |||
| Zadanie 14 | |||
|
W trójkącie długości boków są równe 25 cm, 25 cm, 40 cm. Oblicz pole tego trójkąta oraz długości jego środkowych. | |||
| Zadanie 15 | |||
|
W trójkącie prostokątnym iloczyn długości boków jest dwukrotnie większy od od iloczynu długości wysokości tego trójkąta. Wyznacz miary kątów w tym trójkącie. | |||
| Zadanie 16 | |||
|
W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C, dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach: 25 cm i 15 cm. Oblicz długość dwusiecznej tego kąta. | |||
| Zadanie 17 | |||
|
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 cm i 8 cm. Oblicz długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego. | |||
| Rozwiązanie Moniki Araszewskiej | |||
