LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA GIMNAZJUM
Zadanie 10
Niech a, b, c będą liczbami rzeczywistymi takimi, że a2+b2+c2=ab+bc+ca. Uzasadnij, że a=b=c.
Rozwiązanie
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0 /. 2
2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
a2 + a2 + b2 + b2 + c2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
a2 - 2ab + b2 + a2 - 2ca + c2 + b2 - 2bc + c2 = 0
(a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 = 0
Kwadraty liczb rzezcywistych nigdy nie są liczbami ujemnymi, dlatego składniki powyższego równania muszą być równe 0, a stąd wynika, że:
a - b = 0, więc a = b
a - c = 0, wiec a = c
b - c = 0, więc b = c