LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA GIMNAZJUM

ZADANIE 20
Treść zadania:
     Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |<C|=90o, |AC|=3 cm, |BC|=4 cm. Oblicz obwód i pole figury, której brzeg składa się z półokręgów zbudowanych na bokach AB, AC i BC jak na rysunku.		 Rysunek do zadania 5!











Rozwiązanie:                              

obliczamy pole:

  Wprowadzamy oznaczenia:
P - pole
T - trójkąt ABC
X - figura zaznaczona na niebiesko
Kab - koło oparte na przeciwprostokątnej
Kbc - koło oparte na dłuzszej przyprostokątnej
Kca - koło oparte na krótszej przyprostokątnej

PX = (0,5 PKbc + 0,5 PKca + PT) - 0,5 PKab
  (od pola trójkąta i połowy pól kół opartych na przyprostokątnych odejmujemy połowę pola koła
  opartego na przeciwprostokątnej i otrzymujemy pole niebieskiej figury)

  Z Twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta:
|AB|2 = |BC|2 + |CA|2
|AB|2 = 42 + 32
|AB|2 = 25
|AB| = 5 cm

  Obliczamy pole każdego koła i trojkąta:
0,5 PKca = Pi * 32 = 9 Pi
0,5 PKbc = Pi * 42 = 16 Pi
0,5 PKab = Pi * 52 = 25 Pi
PT = 0,5 * (3cm * 4cm) = 6cm2

  Obliczamy pole niebieskiej figury:
PX = (9 Pi + 16 Pi + 6cm2) - 25 Pi = 6cm2 + 25 Pi - 25 Pi = 6cm2


obliczamy obwód:

  Wprowadzamy oznaczenia:
OBW - obwód
X - figura zaznaczona na niebiesko
Oab - okrąg oparty na przeciwprostokątnej
Obc - okrąg oparty na dłuzszej przyprostokątnej
Oca - okrąg oparty na krótszej przyprostokątnej

OBWX = 0,5 OBWOab + 0,5 OBWObc + 0,5 OBWOca

  Obliczamy obwody okręgów opartych na bokach trójkąta ABC:
OBWOca = 2 * Pi * 3 = 6 Pi
OBWObc = 2 * Pi * 4 = 8 Pi
OBWOab = 2 * Pi * 5 = 10 Pi

  Obliczamy obwód niebieskiej figury:
OBWX = 0,5 (6 Pi + 8 Pi + 10 Pi) = 12 Pi ~ 37,7cm


   Odp.   Pole tej figury wynosi 6 cm2, a jej obwód równy jest 12 Pi (co daje około 37,7 cm).

zredagował:   Rafał Mastalerz  (blizniak@viper.pl)