LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA GIMNAZJUM
Zadanie 9
Treść:
Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest równy 120. Wyznacz te liczby.
Rozwiązanie:
2,3,4... - kolejne liczby naturalne (są to liczby różniące się od siebie o jeden)
x - I liczba naturalna
x + 1 - II liczba naturalna
x + 2 - III liczba naturalna
x .(x + 1) . (x + 2) = 120
I. Załóżmy, że x jest liczbą parzystą. Z tego wynika, że x + 1 jest liczbą nieparzystą,
a x + 2 jest liczbą parzystą.
Wiemy, że x + 1 jest dzielnikiem liczby 120.
Jedynymi dzielnikami nieparzystymi liczby 120 są liczby 3,5,15. Wydać to z rozkładu liczby
120 na czynniki pierwsze:
120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5
Niech x + 1 = 3
x = 2
x + 2 = 4
3 . 4 . 5 = 60
Niech x + 1 = 5
x = 4
x + 2 = 6
4 . 5 . 6 . = 120
x + 1 = 15
x = 14
x + 2 = 16
14 . 15 . 16 . = 3360
II. Załóżmy, że x jest liczbą nieparzystą. Wtedy wiemy, że x + 1 jest parzyste, a x + 2
nieparzyste. Wiemy, że x jest dzielnikiem liczby 120, więc x może być jedynie liczbą 3, 5,
lub 15.
Niech x = 3
x + 1 = 4
x + 2 = 5
3 . 4 . 5 . = 60
Niech x = 5
x + 1 = 6
x + 2 = 7
5 . 6 . 7 = 210
Niech x = 15
x + 1 = 16
x + 2 = 17
15 . 16 . 17 = 4080
Odpowiedź:
Rozwiązaniem są liczby 4, 5, 6.