Zadania przygotowawcze
do etapu I-go dla uczniów klas I gimnazjum

Rozwiąż równania:
 

1. $0,16:\left[\frac{(0,2\cdot x+0,6)\cdot\frac{2}{3}}{0,125} -2,4 \right]=0,04$
    
2. $109,2:\left[ 5,36-2,5\cdot \frac{(0,84 - 1,68\cdot x)\cdot 3}{0,5} \right] = 10,5$

Oblicz:
 

1. $\frac{1}{6\cdot 11}+\frac{1}{11\cdot 16}+\frac{1}{16\cdot 21}+\frac{1}{21\cdot 26}+\frac{1}{26\cdot 31}$
    
2. $\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot \text{ ... } \cdot \left(1+\frac{1}{1999}\right)$

Który z ułamków jest większy, $\frac{166\text{...}66}{666\text{...}66}$ czy $\frac{199\text{...}99}{999\text{...}99}$?
 
W każdym z ułamków zarówno w liczniku jak i w mianowniku jednakowe cyfry występują po 1999 razy.

Piotr ma 153 cm wzrostu i jest niższy od Marcina 15%. Gdy Piotr stanął na słupku okazało się, że wówczas był wyższy od Marcina o 15%.
Jaką wysokość miał słupek, na którym stanął Marcin?

Liczbę $x$ zwiększono o 10%, a następnie nowo otrzymaną liczbę zmniejszono o 10%. Jaki jest stosunek otrzymanej liczby do liczby $x$?

Przechowywana w zimie marchew traci około 10% swego ciężaru. Ile kilogramów marchwi trzeba zgromadzić jesienią, by na wiosnę mieć 144 kg?

Jesienią zgromadzono 100 kg ogórków, które zawierały 99% wody. Po pewnym czasie woda stanowiła 98%. Ile wówczas ważyły ogórki?

W pewnej klasie dziewczęta stanowiły 62,5% liczby uczniów. Do klasy przybyła jedna osoba i wówczas dziewczęta stanowiły 64% liczby uczniów. Ilu chłopców jest w klasie?

Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest równy 120. Wyznacz te liczby.

Trzy autobusy wyruszają z tego samego miejsca postoju w  trzech różnych kierunkach i po przebyciu swojej trasy wracają na miejsce startu. Pierwszy autobus wraca po trzech godzinach i 50 minutach i wyrusza ponownie w drogę po 20 minutach postoju. Drugi autobus wraca po 2 godzinach i 20 minutach i wyrusza ponownie po 10 minutach postoju, zaś trzeci wraca po 5 godzinach i 45 minutach i wyrusza w drogę po półgodzinnym postoju. Wszystkie trzy autobusy wyruszyły z miejsca postoju tej samej godzinie, tj. o 5.20.
O której godzinie najwcześniej wyruszą autobusy ponownie jednocześnie z miejsca postoju?

Wykaż, że jeżeli w liczbie trzycyfrowej środkowa cyfra jest równa sumie skrajnych cyfr, to liczba ta jest podzielna przez 11.

Uzasadnij, że liczba 1998+1997.1998.1999 jest sześcianem liczby naturalnej.

Wyznacz resztę z dzielenia liczby $3^{1999}$ przez $4$.

Wykaż, że suma dwóch liczb dwucyfrowych różniących się tylko kolejnością cyfr jest podzielna przez 11.

Podziel kwadrat na 10 kwadratów.

Uzasadnij, że liczba $123^{123} - 57^{57}$ jest podzielna przez 10.

Wypisz wszystkie liczby dwucyfrowe mające te własność, że każda z nich po dodaniu do liczby napisanej za pomocą tych samych cyfr wziętych w odwrotnym porządku daje pełny kwadrat.

Podać przykład liczby, której dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 17 i która dzieli się przez 17, i której suma cyfr jest równa 17.

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, dla których sumy cyfr są podzielne przez 1999?

Wypisujemy kolejne liczby naturalne w następujący sposób: $122333444455555666666\text{...}$. Jaka cyfra stoi na 1999 miejscu?

Liczba naturalna nazywa się interesującą, jeśli w zapisie dziesiętnym dowolne dwie cyfry stojące obok siebie tworzą liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 17 lub 23. Ile jest interesujących liczb 1999-cyfrowych, które zaczynają się cyfrą 6?

Rozwiąż rebus: $\text{FART+FART+FART+FART=TRAF}.$

Danych jest 14 liczb: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -7, -8, -9, -10, -11.$ Dwóch zawodników  bierze po jednej liczbie tak długo, aż wszystkie liczby zostaną zabrane. Wygrywa ten zawodnik, u którego bezwzględna wartość z sumy tych liczb jest większa. Który z zawodników może wygrać?