LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA GIMNAZJUM
zadanie nr 19
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, dla których sumy cyfr są podzielne przez 1999?
rozwiązanie:
Jeśli liczba a ma ostatnią cyfrę różną od 9 to suma cyfr liczby a jest o 1 mniejsza od sumy cyfr liczby a+1, np.
dla a=13765, suma cyfr liczby a wynosi 21, a+1=13766, suma cyfr a+1 wynosi 22.
Jeśli a kończy się na 9, to suma cyfr liczby a+1 zależy od tego, iloma dziewiątkami kończy się liczba a.
Jeśli a ma na końcu tylko jedną dziewiątkę np. a=13949, to a+1=13950
czyli suma cyfr zwiększa się o 1 i pomniejsza o 1*9.
Jeśli a ma na końcu dwie dziewiątki np. a=139499, to a+1=139500
czyli suma cyfr zwiększa się o 1 i pomniejsza o 2*9.
Jeśli a ma na końcu trzy dziewiątki np.. a=1394999, to a+1=1395000
czyli suma cyfr zwiększa się o 1 i pomniejsza o 3*9
itd.
Jeśli a ma na końcu n dziewiątek np. a=139499...9, tp a+1=139500...0
czyli suma cyfr zwiększa się o 1 i pomniejsza o n*9.
Załóżmy, że liczba a ma na końcu n dziewiątek i jest postaci
a=..........99........9
gdzie ostatnia czerwona cyfra jest różna od 9.
Sumę cyfr czerwonych liczby a oznaczmy b, a niebieskich u
Zauważmy, że suma cyfr liczby a+1 jest równa sumie cyfr liczby b+1.
Z treści zadania wynika, że suma cyfr a+1 jest podzielna przez 1999, więc liczba b musi dawać przy dzieleniu przez 1999 resztę 1998.
Liczba u musi być podzielna przez 9 (gdyż jest sumą pewnej ilości dziewiątek) i musi przy dzieleniu przez 1999 dawać resztę 1, aby suma b i u była podzielna przez 1999.
Najbliższą liczbą do 1999 podzielną przez 9 jest liczba 1998.
Zauważmy że:
1998+1+1=1999+1
2*1998+2+1=2*1999+1
3*1998+3+1=3*1999+1
4*1998+4+1=4*1999+1
n*1998+(n+1)=n*1999+1
Można to inaczej zapisać:
(n-1)*1998+n=(n-1)*1999+1
gdzie n może być każdą liczbą naturalną większą od zera
Pamiętajmy jednak, że liczba u musi być podzielna przez 9. Każda liczba postaci (n-1)*1998 jest podzielna przez 9, gdyż 1998 jest podzielne przez 9. Drugi składnik (w tym przypadku n) też musi być podzielny przez 9; można to zapisać w ten sposób:
(9n-1)*1998+9n=(9n-1)*1999+1
Odp. Warunek zadania spełnia każda liczba postaci .........9......99, gdzie
suma czerwonych cyfr jest postaci b=k*1999+1998,
gdzie b, k są liczbami naturalnymi (czyli przy dzieleniu przez 1999 daje resztę 1998) i ostatnia cyfra jest różna od 9,
a suma niebieskich cyfr jest postaci u=(9n-1)*1998+9n,
gdzie n jest liczbą naturalną większą od zera.
np.n=1, k=3
k*1999+1998
3*1999+1998=7995 (suma czerwonych cyfr)
(9n-1)*1998+9n
(9*1-1)*1998+9*1=15993 (suma niebieskich cyfr)
15993:9=1777 (ilość dziewiątek tworzących niebieską sumę)
Zatem przykładem takiej liczby może być
11...199...9,
w której cyfra 1 występuje 7995 razy, a cyfra 9 występuje 1777 razy.
Autor:Radek Mastalerz