LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA GIMNAZJUM
Przypomnienie treści:
Wypisujemy kolejne liczby naturalne w następujący sposób:
122333444455555666666...
Jaka cyfra stoi na 1999 miejscu?
Rozwiązanie:
Każda liczba jednocyfrowa zajmuje tyle miejsc ile wynosi jej wartość,
razem liczby 1-cyfrowe zajmują: 1+2+3+...+9=45 miejsc.
Każda liczba dwucyfrowa zajmuje dwa razy więcej miejsc niż wynosi jej wartość,
razem liczby 2-cyfrowe zajmują: 2*(10+11+12+...+99)=2*(90*(109)/2)=10810 miejsc.
Ponieważ ostatnia liczba jednocyfrowa zajmuje 45 miejsce a ostatnia liczba dwucyfrowa zajmuje
miejsce dalsze niż 1999, więc na miejscu 1999 stoi cyfra pewnej liczby dwycyfrowej.
Szukamy najpierw największej liczby dwucyfrowej x,
która w całości ze swoimi powtórzeniami zmieści sie do 1999 miejsca.
Liczba x jest największą liczbą dwucyfrową spełniajacą warunek:
(1+2+3+...+9)+2*(10+11+12+...+x)<2000
2*(10+11+12+...+x)<2000-45
(x-9)(x+10)<2000-45
x*x+x<2000+45
x(x+1)<2045
x<45 (bo 44*45=1980 <2045 i 45*46=2070>2045)
Stąd x=44
Ciąg powtarzających się liczb 44 kończy się na miejscu:
(1+2+3+...+9)+2*(10+11+12+...+44)=45+35*54=1935.
Począwszy od następnego miejsca wypisywane będą cyfry liczby 45, które zajmą 90 miejsc.
Wsród tych 90 miejsc:
na miejscu 1936 i dalszych parzystych miejscach stoi 4,
na miejscu 1937 i dalszych nieparzystych miejscach stoi 5.
Ponieważ miejsce 1999 jest nieparzyste, więc będzie tam stała cyfra 5.
Autor: Rafał Mastalerz (blizniak@viper.pl)