LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie nr 18

Punkt (0,0) jest środkiem symetrii rombu. Jednym z wierzchołków tego rombu jest punkt (2,2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 4.

Rozwiązanie
Trójkąty zamalowane są podobne ponieważ są prostokątne i mają takie same kąty ostre, bo :
  • |<)BOB'|=90°-a, bo przekątne rombu są prostopadłe
  • |<)A'OA|=90°-a, bo trójkąt A'OA jest prostokątny

    gdzie a=45°.
 KONSTRUKACJA ROMBU
Z tw. Pitagorasa:
  • |OA|2=22+22=8. Stąd |OA|=2.
  • |OB|2=x2+x2=2x2. Stąd |OB|=x.
Przekątne rombu mają więc długości:
  • d1=2
  • d2=2x
Pole rombu jest równe:
  • P=(1/2)×d1×d2=4
    Stąd(1/2)×2×2x=4
    więc x=1.

Odpowiedź:

Pozostałe wierchołki rombu to: B=(1,-1), C=(-2,-2), D=(-1,1).

Paweł Kocyk