LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2000/2001

Zadania do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka
  1. Wielokąty foremne.
  2. Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt.
  3. Symetrie w układzie współrzędnych.
Zadanie 1
Wyznacz miary kątów wewnętrznych sześciokąta foremnego, ośmiokąta foremnego, szesnastokąta foremnego i n-kąta foremnego.

Zadanie 2
W okrąg o promieniu R=6 cm wpisano trójkąt równoboczny, sześciokąt foremny i dwunastokąt foremny. Oblicz długość boku każdego z tych wielokątów. Wyznacz obwód i pole tych wielokątów foremnych.

Zadanie 3
Niech an będzie długością n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R. Uzasadnij, że 

wzór do zadania 3


Zadanie 4
Czy istnieje na płaszczyźnie z układem współrzędnych, trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Zadanie 5
Wyznacz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości20 cm, 20 cm i 32 cm.

Zadanie 6
Oblicz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm.

Zadanie 7
Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 8
W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CD. Udowodnij, że r+r1+r2 = h, gdzie r1 jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ADC, r2 - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt DBC, r - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ABC,
zaś h = |CD|.

Zadanie 9
Wyznacz pole trójkąta prostokątnego, dla którego promień okręgu wpisanego w ten trójkąt równa się 2 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie równa się 5 cm.

Zadanie 10
Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 15 cm, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 3 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Zadanie 11
Na trójkącie równobocznym ABC opisano okrąg. Uzasadnij, że dla dowolnego punktu M leżącego na tym okręgu długość jednego z odcinków AM, BM, CM jest równa sumie długości dwóch pozostałych.

Zadanie 12
Napisz równania osi symetrii odcinka AB, gdzie A=(-1,5), B=(3,5).

Zadanie 13
Czy zbiór {(-2,4), (2,4), (6,4)} posiada osie symetrii? Jeśli tak, to napisz równania wszystkich jego osi symetrii.

Zadanie 14
Czy zbiór {(0,0), (0,4), (4,4), (4,0)} posiada osie symetrii? Jeśli tak, to napisz równania wszystkich jego osi symetrii.

Zadanie 15
AB, gdzie A=(-1,1), B=(-3,3), przekształć w symetrii względem osi OY. Następnie oblicz pole figury ABB'A', gdzie A', B' są odpowiednio obrazami punktów A i B w tej symetrii.

Zadanie 16
Środkiem kwadratu jest punkt (0,0), a jednym z wierzchołków jest punkt A o współrzędnych (1,2). Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu.

Rozwiązanie Pawła Kocyka
Zadanie 17
Punkt (0,0) jest środkiem symetrii sześciokąta foremnego. Jednym z wierzchołków tego sześciokąta jest punkt A=(4,0). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.

Zadanie 18
Punkt (0,0) jest środkiem symetrii rombu. Jednym z wierzchołków tego rombu jest punkt (2,2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 4.

Rozwiązanie Pawła Kocyka