Zadanie 1
Wyznacz miary kątów wewnętrznych sześciokąta foremnego, ośmiokąta foremnego, szesnastokąta foremnego $\text{i }n\text{-kąta }$foremnego.
Zadanie 2
W okrąg o promieniu $R=6 \text{ cm}$ wpisano trójkąt równoboczny, sześciokąt foremny i dwunastokąt foremny.
Oblicz długość boku każdego z tych wielokątów. Wyznacz obwód i pole tych wielokątów foremnych.
Zadanie 3
Niech $a_n$ będzie długością $n\text{-kąta }$foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $R.$
Uzasadnij, że $a_{2n}^2 = 2R^2-2R\sqrt{R^2-\frac{1}{4}\cdot a_{n}^2}.$
Zadanie 4
Czy istnieje na płaszczyźnie z układem współrzędnych, trójkąt równoboczny,
którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi?
Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.
Zadanie 5
Wyznacz odległość między środkami okręgu wpisanego
i okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości 20 cm, 20 cm i 32 cm.
Zadanie 6
Oblicz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym,
którego przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm.
Zadanie 7
Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych
jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 8
Udowodnij, że $r+r_1+r_2 = h$,
gdzie:
$r_1$ jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$,
$r_2$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $DBC$,
$r$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$,
zaś $h = |CD|.$
gdzie:
$r_1$ jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$,
$r_2$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $DBC$,
$r$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$,
zaś $h = |CD|.$
Zadanie 9
Wyznacz pole trójkąta prostokątnego, dla którego promień okręgu wpisanego
w ten trójkąt równa się 2 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie równa się 5 cm.
Zadanie 10
Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 15 cm,
a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 3 cm.
Oblicz pole i obwód tego trójkąta.
Zadanie 11
Na trójkącie równobocznym $ABC$ opisano okrąg.
Uzasadnij, że dla dowolnego punktu $M$ leżącego na tym okręgu
długość jednego z odcinków $AM$, $BM$, $CM$ jest równa sumie długości dwóch pozostałych.
Zadanie 12
Napisz równania osi symetrii odcinka $AB$, gdzie $A=(-1,5)$, $B=(3,5).$
Zadanie 13
Czy zbiór $\{(-2,4), (2,4), (6,4)\}$ posiada osie symetrii?
Jeśli tak, to napisz równania wszystkich jego osi symetrii.
Zadanie 14
Czy zbiór $\{(0,0), (0,4), (4,4), (4,0)\}$ posiada osie symetrii?
Jeśli tak, to napisz równania wszystkich jego osi symetrii.
Zadanie 15
Odcinek $AB$, gdzie $A=(-1,1)$, $B=(-3,3)$, przekształć w symetrii względem osi $OY.$
Następnie oblicz pole figury $ABB'A'$, gdzie $A'$, $B'$ są odpowiednio obrazami punktów $A$ i $B$ w tej symetrii.
Zadanie 16
Środkiem kwadratu jest punkt $(0,0)$, a jednym z wierzchołków jest punkt $A$ o współrzędnych $(1,2).$
Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu.
Zadanie 17
Punkt $(0,0)$ jest środkiem symetrii sześciokąta foremnego.
Jednym z wierzchołków tego sześciokąta jest punkt $A=(4,0).$
Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Zadanie 18
Punkt $(0,0)$ jest środkiem symetrii rombu.
Jednym z wierzchołków tego rombu jest punkt $(2,2).$
Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 4.