LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA GIMNAZJUM
Zadanie 14
Treść:
Czy suma cyfr kwadratu pewnej liczby naturalnej może być równa 2000?
Rozwiązanie:
Na lekcji matematyki dowiedziałem się, że:
kwadrat liczby naturalnej po podzieleniu przez 3 nie może dawać reszty 2.
Spróbuje wam to udowodnić:
Jeśli a=3n
a2=9n2 - reszta z dzielenia przez 3 jest równa 0
Jeśli a=3n+1
a2=(3n+1)2=(3n+1)*(3n+1)=9n2+3n+3n+1 - reszta 1
Jeśli a=3n+2
a2=(3n+2)2=(3n+2)*(3n+2)=9n2+6n+6n+4 = 9n2+12n+3+1 - reszta 1
Liczba 2000 po podzieleniu przez 3 daje resztę 2 a więc liczba, której suma cyfr jest równa 2000 też daje resztę 2 z dzielenia przez 3 i stąd wynika, że nie może być kwadratem liczby naturalnej.
Odpowiedź brzmi: NIE!