|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 1999/2000 Zadania przygotowawcze do etapu II-go dla uczniów klas I gimnazjum | |||
|
Tematyka 1) Obliczenia procentowe. 2) Figury geometryczne, pola wielokątów. 3) Figury w układzie współrzędnych. 4) Liczby naturalne - podzielność. 5) Kąty środkowe i kąty wpisane. | |||
| Zadanie 1 | |||
| Obliczyć pole czworokąta o wierzchołkach: A=(-3,-2), B=(2,-2), C=(0,4), D(-3,3). | |||
| Rozwiązanie Moniki Araszewskiej | |||
| Zadanie 2 | |||
| Odcinek o końcach A=(1,2), B=(5,2) jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC o polu 8. Wyznaczyć punkt C. | |||
| Rozwiązanie Marysi Bald | |||
| Zadanie 3 | |||
| Punkty A, B, C, gdzie A=(-3,-1), B=(3,-1), C=(1,3), są wierzchołkami pewnego równoległoboku. Jakie współrzędne ma czwarty wierzchołek? | |||
| Rozwiązanie Artura Borkowicza | |||
| Zadanie 4 | |||
| W okręgu poprowadzono trzy nieprzecinające się cięciwy AB, BC i CD. Punkty K, L, M są odpowiednio środkami cięciw AB, BC, CD. Pokazać, że kąty BKL i LMC są równe jeśli punkty | |||
| Zadanie 5 | |||
| Dwie cięciwy przecinają się pod kątem prostym i dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na najkrótszych łukach są równe 30o i 45o. Wyznacz kąty środkowe oparte na pozostałych łukach.
| |||
| Rozwiązanie Kingi Czyżewskiej | |||
| Zadanie 6 | |||
| Antykwariusz kupił książkę o 35% taniej od ceny umieszczonej na tej książce i następnie sprzedał ją o 25% taniej od ceny umieszczonej na książce. Jaki procent zysku osiągnął antykwariusz w tej transakcji? | |||
| Rozwiązanie Ani Górzyńskiej | |||
| Zadanie 7 | |||
| Cena biletu na mecz piłki nożnej wynosiła 150 złotych. Gdy cenę obniżono okazało się, że na mecz przychodzi o 50% widzów więcej, a dochód ze sprzedaży biletów wzrósł o 25%. O ile obniżono cenę biletów?
| |||
| Zadanie 8 | |||
|
Właściciel domu chcąc oszczędzić energię elektryczną dokonał trzech usprawnień, które obniżyły wydatki na ogrzewanie domu kolejno o 20%, o 25% i o 55%. O ile procent łącznie zmniejszyły się jego wydatki na ogrzewanie?
| |||
| Rozwiązanie Agnieszki Jabłońskiej | |||
| Zadanie 9 | |||
| Więcej niż 94% uczestników kółka matematycznego, na które uczęszcza Joanna, to chłopcy. Ilu co najmniej uczestników musi liczyć to kółko? | |||
| Zadanie 10 | |||
| Liczby naturalne a i b mają takie same cyfry na ostatnich 5 miejscach zapisu dziesiętnego. Uzasadnij, że ostatnie 5 cyfr liczb a3 i b3 są także takie same. | |||
| Zadanie 11 | |||
| Pokazać, że prostokąt o wymiarach 18x8 można podzielić na dwie części tak by można było z nich ułożyć kwadrat.
| |||
| Rozwiązanie Tadeusza Kobusa | |||
| Zadanie 12 | |||
| Dwa zegary wskazują godzinę 12 w samo południe. Pierwszy zegar spieszy się o 8 minut, a drugi zegar spieszy się o 4 minuty na dobę. Po jakim czasie obydwa zegary pokażą jednocześnie godzinę 12 w samo?
| |||
| Rozwiązanie Pawła Kocyka | |||
| Zadanie 13 | |||
|
Wyznaczyć cyfry a, b, c, d tak, by liczby a, cd, ad i abcd były kwadratami liczb naturalnych.
| |||
| Rozwiązanie Przemka Kołowskiego | |||
| Zadanie 14 | |||
| Czy suma cyfr kwadratu pewnej liczby naturalnej może być równa 2000? | |||
| Rozwiązanie Pawła Kot | |||
| Zadanie 15 | |||
| Lis jest oddalony od psa o 60 skoków. Trzy susy psa to siedem skoków lisa. W ciągu tego samego czasu pies wykonuje 6 susów, a lis 9 skoków. Po ilu susach pies dogoni lisa? | |||
| Rozwiązanie Karoliny Kowalskiej | |||
| Zadanie 16 | |||
| Rozwiąż rebus 15 .DWA = 6.PIĘĆ Pod literami nie mogą już występować cyfry 1, 5, 6. | |||
| Rozwiązanie Pawła Kukiełczyńskiego | |||
| Zadanie 17 | |||
|
Suma pewnej ilości kolejnych liczb naturalnych poczynając od 1 jest liczbą trzycyfrową o jednakowych cyfrach. Ile takich liczb użyto? | |||
| Zadanie 18 | |||
Jaki będzie mianownik po maksymalnym uproszczeniu ułamka ? | |||
| Zadanie 19 | |||
| Uzasadnić, że dowolny prostokąt można podzielić na n prostokątów, przy czym n > 4, tak by żadne dwa sąsiednie prostokąty nie tworzyły łącznie prostokąta. | |||
| Rozwiązanie Radka Mastalerza | |||
| Zadanie 20 | |||
| Dwóch zawodników pisze liczbę 2000-cyfrową wykorzystując cyfry 1, 2, 3, 4, 5. Pierwszą cyfrę, poczynając od lewej strony, pisze zawodnik pierwszy, drugą - zawodnik drugi, trzecią - ponownie zawodnik pierwszy itd. Zawodnik pierwszy wygrywa, jeśli otrzymana liczba nie dzieli się przez 9. Czy może on zagwarantować sobie wygraną? | |||
| Rozwiązanie Rafała Mastalerza | |||
| Zadanie 21 | |||
| Dany jest trójkąt prostokątny. Na przeciwprostokątnej wyznaczyć punkt tak, by odległość rzutów prostokątnych tego punktu na przyprostokątne była najmniejsza.
| |||
| Zadanie 22 | |||
| W liczbie naturalnej przestawiono cyfry i otrzymano liczbę 3 razy większą. Udowodnić, że otrzymana liczba dzieli się przez 27. | |||
| Zadanie 23 | |||
| Jaka jest najmniejsza liczba naturalna n taka, by iloczyn 1.2.3...n dzielił się przez 7100?
| |||
| Rozwiązanie Agnieszki Pankowskiej | |||
| Zadanie 24 | |||
| Wyznacz wszystkie liczby trzycyfrowe, które dzielą się przez 11 i suma ich cyfr wynosi 25. | |||
| Zadanie 25 | |||
Wyznacz wszystkie trójki liczb naturalnych a, b, c, które spełniają układ równań: | |||
| Rozwiązanie Moniki Rolnickiej | |||
| Zadanie 26 | |||
|
Jaś kupił 96-kartkowy zeszyt i ponumerował strony od 1 do 192. Potem wyrwał z nich 25 kartek i dodał wszystkie numery stron z wyrwanych kartek. Czy mógł on otrzymać 2000?
| |||
| Rozwiązanie Mikołaja Schmidta | |||