Zadania przygotowawcze
do etapu II-go dla uczniów klas I gimnazjum

Obliczyć pole czworokąta o wierzchołkach $A=(-3,-2)$, $B=(2,-2)$, $C=(0,4)$, $D(-3,3).$

Odcinek o końcach $A=(1,2)$, $B=(5,2)$ jest podstawą trójkąta równoramiennego $ABC$ o polu 8. Wyznaczyć punkt $C.$

Punkty $A$, $B$, $C$, gdzie $A=(-3,-1)$, $B=(3,-1)$, $C=(1,3)$, są wierzchołkami pewnego równoległoboku. Jakie współrzędne ma czwarty wierzchołek?

W okręgu poprowadzono trzy nieprzecinające się cięciwy $AB$, $BC$ i $CD$. Punkty $K$, $L$, $M$ są odpowiednio środkami cięciw $AB$, $BC$, $CD$. Pokazać, że kąty $BKL \text{ i } LMC$ są równe jeśli punkty $A \text{ i } D$ leżą na tym samym łuku wyznaczonym przez cięciwę $BC$.

Dwie cięciwy przecinają się pod kątem prostym i dzielą okrąg na cztery łuki. Kąty środkowe oparte na najkrótszych łukach są równe $30^{\circ}$ i $45^{\circ}$. Wyznacz kąty środkowe oparte na pozostałych łukach.

Antykwariusz kupił książkę o 35% taniej od ceny umieszczonej na tej książce i następnie sprzedał ją o 25% taniej od ceny umieszczonej na książce. Jaki procent zysku osiągnął antykwariusz w tej transakcji?

Cena biletu na mecz piłki nożnej wynosiła 150 złotych. Gdy cenę obniżono okazało się, że na mecz przychodzi o 50% widzów więcej, a dochód ze sprzedaży biletów wzrósł o 25%. O ile obniżono cenę biletów?

Właściciel domu chcąc oszczędzić energię elektryczną dokonał trzech usprawnień, które obniżyły wydatki na ogrzewanie domu kolejno o 20%, o 25% i o 55%. O ile procent łącznie zmniejszyły się jego wydatki na ogrzewanie?

Więcej niż 94% uczestników kółka matematycznego, na  które uczęszcza Joanna, to chłopcy. Ilu co najmniej uczestników musi liczyć to kółko?

Liczby naturalne $a$ i $b$ mają takie same cyfry na ostatnich 5 miejscach zapisu dziesiętnego. Uzasadnij, że ostatnie 5 cyfr liczb $a^3$ i $b^3$ są także takie same.

Pokazać, że prostokąt o wymiarach 18x8 można podzielić na dwie części tak by można było z nich ułożyć kwadrat.

Dwa zegary wskazują godzinę 12 w samo południe. Pierwszy zegar spieszy się o 8 minut, a drugi zegar spieszy się o 4 minuty na dobę. Po jakim czasie obydwa zegary pokażą jednocześnie godzinę 12 w samo południe?

Wyznaczyć cyfry $a$, $b$, $c$, $d$ tak, by liczby $\overline{a}$, $\overline{cd}$, $\overline{ad}$ i $\overline{abcd}$ były kwadratami liczb naturalnych.

Czy suma cyfr kwadratu pewnej liczby naturalnej może być równa 2000?

Lis jest oddalony od psa o 60 skoków. Trzy susy psa to siedem skoków lisa. W ciągu tego samego czasu pies wykonuje 6 susów, a lis 9 skoków. Po ilu susach pies dogoni lisa?

Suma pewnej ilości kolejnych liczb naturalnych poczynając od 1 jest liczbą trzycyfrową o jednakowych cyfrach. Ile takich liczb użyto?

Jaki będzie mianownik po maksymalnym uproszczeniu ułamka $\frac{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot \text{...}\cdot 100}{6^{100}}?$

Uzasadnić, że dowolny prostokąt można podzielić na $n$ prostokątów, przy czym $n > 4$, tak by żadne dwa sąsiednie prostokąty nie tworzyły łącznie prostokąta.

Dwóch zawodników pisze liczbę 2000-cyfrową wykorzystując cyfry 1, 2, 3, 4, 5. Pierwszą cyfrę, poczynając od lewej strony, pisze zawodnik pierwszy, drugą - zawodnik drugi, trzecią - ponownie zawodnik pierwszy itd. Zawodnik pierwszy wygrywa, jeśli otrzymana liczba nie dzieli się przez 9. Czy może on zagwarantować sobie wygraną?

Dany jest trójkąt prostokątny. Na przeciwprostokątnej wyznaczyć punkt tak, by odległość rzutów prostokątnych tego punktu na przyprostokątne była najmniejsza.

W liczbie naturalnej przestawiono cyfry i otrzymano liczbę 3 razy większą. Udowodnić, że otrzymana liczba dzieli się przez 27.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna $n$ taka, że iloczyn $1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...} \cdot n$ dzieli się przez $7^{100}$?

Wyznacz wszystkie liczby trzycyfrowe, które dzielą się przez 11 i suma ich cyfr wynosi 25.

Wyznacz wszystkie trójki liczb naturalnych $a$, $b$, $c$, które spełniają podany układ równań.

$ \left\{ \begin{array}{c} a^2+b=100 \\ a+b^2=124 \end{array} \right. $

Jaś kupił 96-kartkowy zeszyt i ponumerował strony od 1 do 192. Potem wyrwał z nich 25 kartek i dodał wszystkie numery stron z wyrwanych kartek. Czy mógł on otrzymać 2000?