LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA GIMNAZJUM
ZADANIE 25
Wyznacz wszystkie trójki liczb naturalnych a, b, c, które spełniają układ
Rozwiązanie
(a + b2 - c) - (a2 + b - c) = 124 - 100
a + b2 - c - a2 - b + c = 24
a + b2 - a2 - b = 24
b2 - a2 + a - b = 24
(b + a) . (b - a) + a - b = 24
(b + a) . (b - a) + (-1) . (b - a) = 24
(b - a) . [(b + a) + (-1)] = 24
(b - a) . (b + a - 1) = 24
Są możliwe cztery przypadki:
1)
b - a = 1
b + a = 25
(b - a) + (b + a) = 26
2b = 26
b = 13
a = 12
a2 + b - c = 100 a + b2 - c = 124
144 + 13 - c = 100 12 + 169 - c = 124
157 - c = 100 181 - c = 124
c = 57 c = 57
liczby:a = 12, b = 13, c = 57 spełniają ten układ
2)
b - a = 2
b + a = 13
(b - a) + (b + a) = 15
2b = 15
b = 7,5
a = 5,5
To rozwiązanie jest złe, poniewż a i b muszą być liczbami naturalnymi, a w tym przypadku nimi nie są.
3)
b - a = 3
b + a = 9
(b - a) + (b + a) = 12
2b = 12
b = 6
a = 3
a2 + b - c = 100 a + b2 - c = 124
9 + 6 - c = 100 3 + 36 - c = 124
15 - c = 100 39 - c = 124
c = (-85) c = (-85)
To rozwiązanie jest złe, ponieważ c musi być liczbą naturalną, a w tym przypadku nią nie jest.
4)
b - a = 4
b + a = 7
(b - a) + (b + a) = 11
2b = 11
b = 5,5
a = 1,5
To rozwiązanie jest złe, ponieważ a i b muszą być liczbami naturalnymi, a w tym przypadku nimi nie są.
Odp.Jedynym rozwiązaniem jest trójka liczb: a = 12, b = 13, c = 57.
Monika Rolnicka.