LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU IV
DLA GIMNAZJUM
Zadanie 15
Uzasadnij, że jeśli wyrażenie 3a + 4b + 5c dla liczb całkowitych a, b, c dzieli się przez 11, to wyrażenie 9a + b + 4c dla tych samych liczb a, b, c, dzieli się także przez 11.
3a + 4b + 5c = 11n
3a = 11n - 4b - 5c
9a + b + 4c = 3 (11n - 4b - 5c) + b + 4c = 33n - 12b - 15c + b + 4c = 33n - 11b - 11c
33 oraz 11, są podzielne przez 11, a więc liczba 33n - 11b - 11c jest podzielna przez 11, a z tego wynika, że 9a + b + 4c jest również podzielne przez 11.