Liga Zadaniowa UMK w Toruniu 2001/2002

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 1999/2000 Zadania konkursowe w etapie IV dla uczniów klas I gimnazjum

Tematyka 1) Kąty wpisane i środkowe. 2) Liczby naturalne i całkowite - podzielność. 3) Równania i nierówności.
Zadanie 1
Oblicz: a) x²+y² b) x³-y³ jeśli wiadomo, że x-y=3 oraz xy=4.
Zadanie 2
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych x, y prawdziwa jest nierówność: Kiedy ta nierówność staje się równością?
Zadanie 3
Uzasadnij, że dla dowolnych nieujemnych liczb a i b mamy
Rozwiązanie Asi Piechowiak
Zadanie 4
Dane jest wyrażenie: (x-1)^.(x-2)^. ... ^.(x-99)^.(x-100). Oblicz wartość tego wyrażenia dla x=13.
Rozwiązanie Szymona Tomala
Zadanie 5
Dla jakich liczb całkowitych a, b funkcje y=2x+b i y=ax+3 mają to samo miejsce zerowe?
Rozwiązanie Kingi Czyżewskiej
Zadanie 6
Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu sześciokąta foremnego od prostych zawierających jego boki jest stała. Wyznacz wartość tej sumy, jeśli znasz długość boku sześciokąta.
Rozwiązanie Ani Górzyńskiej
Zadanie 7
Dane są dwa okręgi o wspólnym środku. Cięciwa większego okręgu styczna do mniejszego okręgu ma 10 cm długości. Oblicz pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi.
Rozwiązanie Izy Gralli
Zadanie 8
Jedno z ramion trójkąta równoramiennego ABC przecięto prostą prostopadłą do podstawy AB. Prosta ta na przedłużeniu boku AC wyznaczyła punkt K, na przedłużeniu boku BC punkt L, a na podstawie punkt M. Uzasadnij, że trójkąt KLC jest równoramienny.
Rozwiązanie Agnieszki Jabłońskiej
Zadanie 9
Uzasadnij, że jeśli w trapez można wpisać okrąg, to okręgi zbudowane na ramionach tego trapezu jak na średnicach są zewnętrznie styczne.
Zadanie 10
Na okręgu dane są punkty A, B, C, D, przy czym umieszczone są one w wymienionej kolejności poruszając się po okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Niech X będzie środkiem łuku AB, Y, Z, T będą środkami łuków BC, CD i DA. Udowodnij, że cięciwy XZ i YT są prostopadłe względem siebie.
Zadanie 11
W czworokącie wypukłym ABCD mamy: \|<ABC\|=111^o, \|<CDB\|=49^o, \|<ACD\|=62^o. Wyznacz kąty CAD i ADC.
Interaktywne rozwiązanie Tadeusza Kobusa
Zadanie 12
Jeżeli do liczby dwucyfrowej dopiszemy z prawej strony cyfrę jej dziesiątek, to otrzymamy liczbę o 227 większą. Dopisując zaś przed daną liczbę cyfrę jedności otrzymujemy liczbę 21 razy większą. Jaka to liczba?
Zadanie 13
Piotr ma dwa razy więcej braci niż sióstr, a jego siostra ma pięć razy więcej braci niż sióstr. Ilu synów i ile córek mają ich rodzice?
Zadanie 14
Wyznaczyć wszystkie liczby pięciocyfrowe abcde, które dzielą się przez 36 i w których a<b<c<d<e.
Zadanie 15
Uzasadnić, że jeśli wyrażenie 3a+4b+5c dla pewnych liczb całkowitych a, b, c dzieli się przez 11, to wyrażenie 9a+b+4c dla tych samych liczb a, b, c dzieli się także przez 11.
Rozwiązanie Karoliny Kowalskiej
Zadanie 16
Danych jest 2000 liczb dodatnich. Uzasadnić, że jeśli iloczyn dowolnych siedemnastu z nich jest większy od 1, to iloczyn wszystkich tych liczb jest także większy niż 1.
Rozwiązanie Pawła Kukiełczyńskiego
Zadanie 17
Czy istnieją cztery kolejne liczby naturalne, których iloczyn jest 30 razy większy od sumy?
Zadanie 18
Liczba naturalna n jest iloczynem dwóch liczb pierwszych, a suma wszystkich jej dzielników, włączając 1 i wyłączając n, jest równa 1000. Wyznaczyć wszystkie takie liczby n.
Zadanie 19
Uzasadnić, że suma liczb naturalnych od 1 do 1000 dzieli się przez 143.
Rozwiązanie Radka Mastalerza
Zadanie 20
Czy istnieją liczby naturalne m i n, by 2n²+3mn+m² było równe 3²⁰⁰⁰.