Zadanie 1
O liczbach $x$, $y$ wiadomo, że $x-y=3$ oraz $xy=4$. Oblicz:
- $x^2+y^2$,
- $x^3+y^3$.
Zadanie 2
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}.$
Kiedy ta nierówność staje się równością?
Kiedy ta nierówność staje się równością?
Zadanie 3
Uzasadnij, że dla dowolnych nieujemnych liczb $a$ i $b$ mamy $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2.$
Zadanie 4
Dane jest wyrażenie: $(x-1)\cdot (x-2)\cdot \text{...} \cdot(x-99)\cdot(x-100).$ Oblicz wartość tego wyrażenia dla $x=13.$
Zadanie 5
Dla jakich liczb całkowitych $a$, $b$ funkcje $y=2x+b$ i $y=ax+3$ mają to samo miejsce zerowe?
Zadanie 6
Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu sześciokąta foremnego od prostych zawierających jego boki jest stała.
Wyznacz wartość tej sumy, jeśli znasz długość boku sześciokąta.
Zadanie 7
Dane są dwa okręgi o wspólnym środku. Cięciwa większego okręgu styczna do mniejszego okręgu ma 10 cm długości.
Oblicz pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi.
Zadanie 8
Jedno z ramion trójkąta równoramiennego $ABC$ przecięto prostą prostopadłą do podstawy $AB.$ Prosta ta na przedłużeniu boku $AC$ wyznaczyła punkt $K,$ na przedłużeniu boku $BC$ punkt $L,$ a na podstawie punkt $M.$
Uzasadnij, że trójkąt $KLC$ jest równoramienny.
Uzasadnij, że trójkąt $KLC$ jest równoramienny.
Zadanie 9
Uzasadnij, że jeśli w trapez można wpisać okrąg, to okręgi zbudowane na ramionach tego trapezu jako na średnicach są zewnętrznie styczne.
Zadanie 10
Na okręgu dane są punkty $A$, $B$, $C$, $D$, przy czym umieszczone są one w wymienionej kolejności poruszając się po okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Niech $X$ będzie środkiem łuku $AB$, oraz niech $Y$, $Z$, $T$ będą środkami łuków $BC$, $CD$ i $DA.$ Udowodnij, że cięciwy $XZ$ i $YT$ są prostopadłe względem siebie.
Zadanie 11
W czworokącie wypukłym $ABCD$ mamy: $|\angle ABC|=111^{\circ}$, $|\angle CDB|=49^{\circ}$, $|\angle ACD|=62^{\circ}$. Wyznacz kąty $CAD$ i $ADC.$
Zadanie 12
Jeżeli do liczby dwucyfrowej dopiszemy z prawej strony cyfrę jej dziesiątek, to otrzymamy liczbę o 227 większą. Dopisując zaś przed daną liczbę cyfrę jedności otrzymujemy liczbę 21 razy większą. Jaka to liczba?
Zadanie 13
Piotr ma dwa razy więcej braci niż sióstr, avjego siostra ma pięć razy więcej braci niż sióstr. Ilu synów i ile córek mają ich rodzice?
Zadanie 14
Wyznaczyć wszystkie liczby pięciocyfrowe $\overline{abcde}$, które dzielą się przez 36 i w których $a<b<c<d<e.$
Zadanie 15
Uzasadnić, że jeśli wyrażenie $3a+4b+5c$ dla pewnych liczb całkowitych $a$, $b$, $c$ dzieli się przez 11, to wyrażenie $9a+b+4c$ dla tych samych liczb $a$, $b$, $c$ dzieli się także przez 11.
Zadanie 16
Danych jest 2000 liczb dodatnich. Uzasadnić, że jeśli iloczyn dowolnych siedemnastu z nich jest większy od 1,
to iloczyn wszystkich tych liczb jest także większy niż 1.
Zadanie 17
Czy istnieją cztery kolejne liczby naturalne, których iloczyn jest 30 razy większy od sumy?
Zadanie 18
Liczba naturalna $n$ jest iloczynem dwóch liczb pierwszych, a suma wszystkich jej dzielników,
włączając 1 i wyłączając $n$, jest równa 1000. Wyznaczyć wszystkie takie liczby $n.$
Zadanie 19
Uzasadnić, że suma liczb naturalnych od 1 do 1000 dzieli się przez 143.
Zadanie 20
Czy istnieją liczby naturalne $m$ i $n$ takie, że $2n^2+3mn+m^2$ równa się $3^{2000}?$