LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU IV
DLA GIMNAZJUM
ZADANIE 3
Uzasadnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych a i b mamy a3+b3 jest większe bądź równe a2b+b2a.
Rozwiązanie:
a3+b3 jest większe bądź równe a2b+b2a
a3+b3-a2b-b2a jest większe bądź równe 0 (przenieśliśmy prawą stronę na lewą)
(a3-a2b)+ (b3-b2a) jest większe bądź równe 0 (grupujemy)
a2(a-b)+b2(b-a) jest większe bądź równe 0 (wyłączamy wspólne czynniki przed nawiasy)
a2(a-b)+b2(-(a-b)) jest większe bądź równe 0 (zmiana znaków)
a2(a-b)-b2(a-b) jest większe bądź równe 0
(a-b)(a2-b2) jest większe bądź równe 0 (wyłączam każdy czynnik przed nawias)
(a-b)(a-b)(a+b) jest większe bądź równe 0 (korzystamy z wzorów skróconego mnożenia)
(a-b)2(a+b) jest większe bądź równe 0 (potęgujemy)
Liczba (a-b)2 musi być nieujemna, ponieważ dowolna liczba podniesiona do kwadratu daje liczbę nieujemną.
Liczba (a+b) jest nieujemna bo liczby a i b są nieujemne.
Ponieważ liczby (a-b)2 i a+b są nieujemne to ich iloczyn jest też nieujemny.
Asia