LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU II
DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 3


Wyznacz ostatnią cyfrę liczby 19992001+20021000.



Będziemy rozważali tylko dodatnie potęgi.


Ostatnie cyfry z potęg liczby 1999:

  potęga:     ostatnio cyfra:  

1

9

2

1

3

9

4

1


Widzimy, że ostatnia cyfra powtarza się. Jeżeli potęga jest nieparzysta to ostatnia cyfra wynosi 9, a jeśli parzysta to wynosi 1. 

Ostatnie cyfry z potęg liczby 2002:

  potęga:     ostatnia cyfra:  

1

2

2

4

3

8

4

6

5

2

6

4

7

8


Widzimy, że ostatnia cyfra powtarza się cyklicznie co 4 potęgi.


Więc jeśli liczba 1999 zostanie podniesiona do potęgi 2001 ostatnią cyfrą będzie 9. Jeśli liczbę 2002 podnosimy do potęgi 1000, potęgę dzielimy na 4, aby zobaczyć ile razy powtórzy się cykl 4 końcówek. Reszta wynosi 0, więc ostatnią cyfra będzie czwartą końcówką, będzie wynosiła 6. Jeśli dodamy 9+6 to ostatnia cyfra wyjdzie 5. I to jest właśnie rozwiązanie tego zadania.

Radek Mastalerz