LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH
Przypomnienie treści:
Na tablicy mamy 2000 cyfr równych 1 i 1999 cyfr równych 2. Ruch polega na wytarciu z tablicy dwóch cyfr i wpisaniu na tablicę jednej cyfry według reguły: jeśli ścierane cyfry były jednakowe, to na tablicę wpisujemy cyfrę 2, jeśli różne to piszemy cyfre1. W grze biorą udział dwie osoby, które wykonują na przemian swoje ruchy tak długo aż zostanie na tablicy jedna cyfra. Jeśli będzie to 1, to wygrywa zawodnik zaczynający, w przeciwnym razie drugi zawodnik wygrywa. Jak sądzisz, który zawodnik ma szansę wygrania tej gry?
Rozwiązanie:
Więc zagrajmy!
W zadaniu ilość cyfr 1 jest parzysta a ilość cyfr 2 jest ... nieważne.
Zagrajmy więc dla przykładu czterema "1" i trzema "2".
Kontroluj za każdym razem sumę cyfr(liczb) na tablicy!
OK?
Zaczynaj!
Teraz ja!
Your turn.
| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
| |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
| suma=6 |
Moja kolejka:
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
| |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
| suma=4 |
I znowu ty!
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
| |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
| suma=4 |
I ja.
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
| |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
| suma=2 |
Wygrałem!
Nie załamuj się!
Ta gra jest tak stworzona, że zawsze drugi zawodnik wygrywa.
Zaraz ci to wytłumaczę.
Zauważ, że:
początkowa suma wszystkich liczb jest parzysta (2000*1+1999*2)
Gdy skreślimy:
1 i 1 - wpisujemy 2 (suma się nie zmienia)
2 i 2 - wpisujemy 2 (suma zmniejsza się o 2)
1 i 2 - wpisujemy 1 (suma zmniejsza się o 2)
Więc po każdym ruchu ilość liczb(cyfr) zmniejsza się o 1 ale suma liczb pozostaje parzysta .
Ostatnią cyfrą, która zostanie na planszy będzie 2 bo jest to jednocześnie suma.
W takiej sytuacji zawodnik zaczynający nigdy nie wygra.
Odp. Tę grę zawsze wygra drugi zawodnik.
Autor: Rafał Mastalerz (blizniak@viper.pl)