Zadanie 1
Dany jest pięciokąt foremny $ABCDE.$ Punkt $F$ leży wewnątrz pięciokąta i ma taką własność, że trójkąt $ABF$ jest równoboczny. Oblicz miarę kąta $DEF.$
Zadanie 2
W trapezie równoramiennym $ABCD$, w którym $|AB|=|BC|=|CD|$ przekątna $AC$ jest prostopadła do boku $DC.$ Oblicz miary kątów tego trapezu.
Zadanie 3
Na kwadracie $ABCD$ o boku 1 opisano okrąg,
a następnie wykreślono okrąg
o środku w punkcie $A$ i promieniu $AB.$
Oblicz pole figury zakreskowanej na rysunku.
a następnie wykreślono okrąg
o środku w punkcie $A$ i promieniu $AB.$
Oblicz pole figury zakreskowanej na rysunku.
Zadanie 4
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 cm i 6 cm.
Oblicz długość promienia okręgu o środku leżącym na przeciwprostokątnej, stycznego do obu przyprostokątnych.
Oblicz długość promienia okręgu o środku leżącym na przeciwprostokątnej, stycznego do obu przyprostokątnych.
Zadanie 5
Średnice okręgu o długości 6 cm
przecinają się pod kątem prostym.
Ze środka łuku $DA$ leżącego w punkcie $E$
poprowadzono prostopadłe
do odpowiednich średnic $DB$ oraz $AC$
i otrzymano na nich punkty $G$ oraz $F.$
Znajdź długość odcinka $GF.$
przecinają się pod kątem prostym.
Ze środka łuku $DA$ leżącego w punkcie $E$
poprowadzono prostopadłe
do odpowiednich średnic $DB$ oraz $AC$
i otrzymano na nich punkty $G$ oraz $F.$
Znajdź długość odcinka $GF.$
Zadanie 6
Dwie proste prostopadłe dzielą okrąg na 4 łuki. Kąty środkowe oparte na łukach o mniejszych długościach mają miary $30^{\circ}$ i $45^{\circ}.$ Wyznacz miary kątów opartych na pozostałych łukach.
Zadanie 7
Długość każdego boku kwadratu zwiększono o 10%. O ile procent zwiększyło się pole tego kwadratu, a o ile obwód?
Zadanie 8
O ile procent robotnik zwiększy swoją wydajność pracy jeżeli to co robił w ciągu 9 godzin, wykona w ciągu 8 godzin?.
Zadanie 9
Czy do garnka o średnicy 24 cm zmieszczą się słoiki o średnicy 10 cm każdy?
Zadanie 10
Wykaż, że środkowe trójkąta dzielą trójkąt na 6 części o równych polach.
Zadanie 11
W trapezie $ABCD$ połączono środek $E$ ramienia $BC$ z wierzchołkami $A$ i $D.$ Uzasadnij, że pole trójkąta $AED$ jest równe połowie pola trapezu.
Zadanie 12
Oblicz pole i długość obwodu "katarzynki" (sam wykonaj odpowiedni rysunek). Przyjmujemy, że siatka zbudowana jest z kwadratów o boku 1 cm, a łuki są łukami okręgów o promieniu 1 cm.
Zadanie 13
Na oceanie jest 5 wysepek $A$, $B$, $C$, $D$, $E.$ Niektóre odległości między nimi są znane, mianowicie $|AB|=|BC|=|AC|=3\;\text{km}$, $|CD|=|DE|=|EC|=8\;\text{km}$, |$BD|=11\;\text{km}$. Oblicz odległość między wysepkami $A$ i $E.$
Zadanie 14
Znajdź promień koła jeśli wiadomo, że liczba wyrażająca jego pole jest 4 razy większa niż liczba wyrażająca jego obwód.
Zadanie 15
Czy istnieje trójkąt, którego wysokości mają długości: $1\;\text{cm}$, $\frac{1}{2}\;\text{cm}$, $\frac{1}{2}\;\text{cm}?$
Zadanie 16
W okrąg o promieniu $r$ wpisano prostokąt $ABCD.$ Następnie połączono środki boków otrzymując czworokąt $EFMN.$ Oblicz obwód otrzymanego czworokąta.
Zadanie 17
Czy istnieje wielokąt, którego suma miar kątów wewnętrznych jest równa:
(a) $1999^{\circ}$, (b) $2000^{\circ}$, (c) $7200^{\circ}$, (d) $721^{\circ}$ ?
(a) $1999^{\circ}$, (b) $2000^{\circ}$, (c) $7200^{\circ}$, (d) $721^{\circ}$ ?
Zadanie 18
Na liczbach $x$, $y$ wykonano działania $x+y$, $x-y$, $x\cdot y$ , $x:y$ i otrzymano liczby: -72, -2, 6, 18.
Wyznacz te liczby wiedząc, że kolejność wypisanych liczb nie musi się pokrywać z kolejnością wymienionych poprzednio działań.
Zadanie 19
Czy można na okrągłym talerzu o promieniu 10 cm umieścić prostokątny tort
o wymiarach 8 cm i 28 cm przecinając go nożem wzdłuż prostej na dwa kawałki?
Zadanie 20
Na tablicy mamy 2000 cyfr równych 1 i 1999 cyfr równych 2.
Ruch polega na wytarciu z tablicy dwóch cyfr i wpisaniu na tablicę jednej cyfry według reguły:
jeśli ścierane cyfry były jednakowe, to na tablicę wpisujemy cyfrę 2,
jeśli różne to piszemy cyfre 1. W grze biorą udział dwie osoby, które wykonują na przemian swoje ruchy tak długo aż zostanie na tablicy jedna cyfra.
Jeśli będzie to 1, to wygrywa zawodnik zaczynający, w przeciwnym razie drugi zawodnik wygrywa. Jak sądzisz, który zawodnik ma szansę wygrania tej gry?