LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA GIMNAZJUM

ZAD nr 23

Czy spośród liczb naturalnych od 1 do 10 można wybrać dwie liczby tak, by ich iloczyn był równy sumie liczb pozostałych?

Rozwiązanie

Oznaczam przez x, y liczby wybrane spośród liczb 1, 2, 3,. . . ,10

Suma liczb od 1 do 10 równa się 55, więc suma pozostałych liczb równa się 55-x-y.
Wtedy

x . y = 55 - x - y / + x + y
x . y + x + y = 55
x . ( y + 1 ) + y = 55 / + 1
x . ( y + 1 ) + y + 1 = 56
x . (y + 1 ) + 1 . ( y + 1 ) = 56
( y + 1 ) . ( x + 1 ) = 56
         1                      56
         2                      28
         4                      14
      7              8

A WIĘC ...

y + 1 = 7        x + 1 = 8
y = 6                x = 7

Odp.
Jedyną możliwością jest to, iż  y = 6  a   x = 7 .
Można sprawdzić:
6 . 7 = 42 , a suma liczb pozostałych czyli 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 8 + 9 + 10 wynosi również 42 .