Zadanie 1
Wykonaj działania i oblicz wartość wyrażenia:
- $\left(3x^2\right)^3\left[\left(3x^2\right)^5:\left(3x^2\right)^4\right]$ dla $x=-2$,
- $\left\{ \left[ \left(\frac{1}{16}y^4\right):\left(\frac{1}{2}y\right)^3\right]\cdot \left(\frac{1}{4}y^2\right) \right\}:\left(\frac{1}{2}\right)^2$ dla $y=0,4.$
Zadanie 2
Oblicz:
- $\frac{685\cdot 654654}{327\cdot 137137+137\cdot 327327},$
- $ 1+(1+2)\cdot (1+2^2)\cdot (1+2^4)\cdot (1+2^8)\cdot \text{....}\cdot (1+2^{64}),$
- $ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\text{...}+\frac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}.$
Zadanie 3
Która z liczb jest większa
$\frac{2^{1990}+2^{1991}+\text{...}+2^{2000}+1999}{2^{1989}+2^{1990}+\text{...}+2^{1999}+1999}$ czy $\frac{2^{1989}+2^{1990}+\text{...}+2^{1999}+1999}{2^{1988}+2^{1989}+\text{...}+2^{1998}+1999}$?
$\frac{2^{1990}+2^{1991}+\text{...}+2^{2000}+1999}{2^{1989}+2^{1990}+\text{...}+2^{1999}+1999}$ czy $\frac{2^{1989}+2^{1990}+\text{...}+2^{1999}+1999}{2^{1988}+2^{1989}+\text{...}+2^{1998}+1999}$?
Zadanie 4
Rozwiąż równania:
- $3x-2\cdot [5\cdot (x-1)]=4\cdot (7-3x),$
- $4-(x+3)\cdot (x+2) = x\cdot(x+1),$
- $6\cdot[2-3\cdot (2x-5)]-5\cdot (,1-2x) = 7-2\cdot (11x-5),$
- $0,5-\frac{4\cdot(x+1)}{5} - \frac{x-4}{2}= -0,3x.$
Zadanie 5
W klasie uczy się 20 chłopców, dziewczęta stanowią 20% uczniów całej klasy. Ilu uczniów uczy się w tej klasie?
Zadanie 6
W 37-osobowej grupie studentów wystawiono z ćwiczeń 2 razy więcej ocen dobrych niż bardzo dobrych, ocen dostatecznych o 9 więcej niż bardzo dobrych oraz 4 oceny niedostateczne. Ilu studentów otrzymało oceny bardzo dobre, dobre i dostateczne?
Zadanie 7
W trójkącie $ABC$ kąt $ABC$ jest 3 razy większy od kąta $BAC$, a kąt $ACB$ jest o $26^{\circ}$ większy od kąta $ABC.$ Oblicz miary kątów tego trójkąta.
Zadanie 8
Rowerzysta jadący z prędkością 16 km/h po upływie pół godziny dogonił pieszego, który wyruszył o godzinę wcześniej, nim wyruszył rowerzysta. Z jaką prędkością poruszał się pieszy?
Zadanie 9
Przed 10 laty ojciec był 7 razy starszy od swojego syna. Po upływie 15 lat ojciec będzie 2 razy starszy od syna. Ile lat ma obecnie ojciec?
Zadanie 10
Zastęp harcerzy miał do przebycia pewną trasę. W pierwszym dniu harcerze przebyli 9/17 trasy, w drugim 4/15 pozostałej trasy, a w trzecim pozostałe 35,2 kilometra. Ile kilometrów przebyli harcerze w pierwszym i drugim dniu?
Zadanie 11
Dla jakich wartości parametru $p$ poniższe dwa równania
- $(p-1)x=1,$
- $p(x-1)=1-p$
Zadanie 12
Rozwiązać równanie $\frac{a\cdot x-2}{2}=\frac{3-a\cdot x}{4}$ z niewiadomą $x.$
Zadanie 13
Miara kąta $ABC$ wpisanego w okrąg jest 3 razy większa od miary kąta $DEF$ wpisanego w ten sam okrąg. Suma miar odpowiadających im kątów środkowych jest równa $160^{\circ}.$ Oblicz miary kątów wpisanych $ABC$ i $DEF$.
Zadanie 14
Cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki w stosunku 3:7. Wyznaczyć kąt jaki tworzy ta cięciwa ze styczną poprowadzoną do okręgu w jednym z końców tej cięciwy.
Zadanie 15
Z punktu $P$ leżącego na zewnątrz okręgu o środku $O$ poprowadzono styczne do tego okręgu. Punktami styczności tych stycznych do okręgu są punkty $A$ i $B.$ Następnie poprowadzono średnicę z punktu $B,$ drugim jej końcem jest punkt $C.$ Uzasadnić, że prosta $CA$ jest równoległa do prostej $PO.$
Zadanie 16
Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$. Na każdym boku tego czworokąta budujemy półkole, którego średnicą jest ten bok. Uzasadnić, że półkola te pokryją cały czworokąt $ABCD.$
Zadanie 17
Rozwiąż rebus $\text{LA}^{\text{L}} = \text{ ELA}$.
Zadanie 18
Uporządkuj od najmniejszej do największej liczby: $16^{12}$, $18^{13}$, $32^{9}$, $63^{7}.$
Zadanie 19
Oblicz sumę cyfr wszystkich liczb naturalnych od 1 do 2000.
Zadanie 20
Ile jest liczb dziewięciocyfrowych o różnych cyfrach i takich, że każda cyfra oprócz ostatniej, patrząc od lewej strony zapisu dziesiętnego, jest większa od następnej.
Zadanie 21
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ takie, by liczba $\frac{19n+17}{7n+11}$ była liczbą całkowitą.
Zadanie 22
Uzasadnij, że nie istnieje liczba naturalna taka, że po skreśleniu jej pierwszej cyfry, patrząc od lewej strony, otrzymamy liczbę 12 razy mniejszą.
Zadanie 23
Czy spośród liczb naturalnych od 1 do 10 można wybrać dwie liczby tak by ich iloczyn był równy sumie liczb pozostałych.
Zadanie 24
W zapisie dziesiętnym liczby $a$ każda jej cyfra oprócz ostatniej, patrząc od lewej strony jest mniejsza od następnej. Wyznaczyć sumę cyfr liczby $9a.$
Zadanie 25
Dla jakich liczb naturalnych $n$ liczba $n^2- 5n + 6$ jest potęgą liczby 2?
Zadanie 26
Dwóch zawodników gra w następującą grę: na stole leżą kartki z numerami 1, 2, 3, 4, ...,9. Na każdej kartce jest inny numer i numery te są widoczne dla zawodników. Zawodnicy biorą po jednej kartce na przemian. Wygrywa ten, który pierwszy będzie miał trzy kartki, na których suma numerów będzie równa 15.
Który z zawodników może zapewnić sobie wygraną?
Rozwiązanie Mikołaja Schmidta (można pograć!)