LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 1999/2000

Zadania przygotowawcze do etapu III-go dla uczniów klas I gimnazjum
Tematyka
1. Równania z jedną niewiadomą.
2. Przekształcanie wzorów.
3. Kąty wpisane i środkowe.
4. Liczby naturalne i całkowite - podzielność.
Zadanie 1
Wykonaj działania i oblicz wartość wyrażenia:



Zadanie 2
Oblicz:


Zadanie 3
Która z liczb jest większa



Zadanie 4
Rozwiąż równania:



Rozwiązanie Szymona Tomala
Zadanie 5
W klasie uczy się 20 chłopców, dziewczęta stanowią 20% uczniów całej klasy. Ilu uczniów uczy się w tej klasie?
Rozwiązanie Kingi Czyżewskiej
Zadanie 6
W 37-osobowej grupie studentów wystawiono z ćwiczeń 2 razy więcej ocen dobrych niż bardzo dobrych, ocen dostatecznych o 9 więcej niż bardzo dobrych oraz 4 oceny niedostateczne. Ilu studentów otrzymało oceny bardzo dobre, dobre i dostateczne?

Rozwiązanie Ani Górzyńskiej
Zadanie 7
W trójkącie ABC kąt ABC jest 3 razy większy od kąta BAC, a kąt ACB jest o 26o większy od kąta ABC. Oblicz miary kątów tego trójkąta.

Rozwiązanie Izy Gralli

Zadanie 8
Rowerzysta jadący z prędkością 16 km/h po upływie pół godziny dogonił pieszego, który wyruszył o godzinę wcześniej, nim wyruszył rowerzysta. Z jaką prędkością poruszał się pieszy?

Rozwiązanie Agnieszki Jabłońskiej
Zadanie 9
Przed 10 laty ojciec był 7 razy starszy od swojego syna. Po upływie 15 lat ojciec będzie 2 razy starszy od syna. Ile lat ma obecnie ojciec?

Rozwiązanie Aurelii Janisio
Zadanie 10
Zastęp harcerzy miał do przebycia pewną trasę. W pierwszym dniu harcerze przebyli 9/17 trasy, w drugim 4/15 pozostałej trasy, a w trzecim pozostałe 35,2 kilometra. Ile kilometrów przebyli harcerze w pierwszym i drugim dniu?

Rozwiązanie Pawła Karasia
Zadanie 11
Dla jakich wartości parametru p równania
(p -1)x=1 i p(x-1)=1- p mają dokładnie jedno wspólne rozwiązanie?
Rozwiązanie Tadeusza Kobusa
Zadanie 12
Rozwiązać równanie



Rozwiązanie Pawła Kocyka
Zadanie 13
Miara kąta ABC wpisanego w okrąg jest 3 razy większa od miary kąta DEF wpisanego w ten sam okrąg. Suma miar odpowiadających im kątów środkowych jest równa 160o. Oblicz miary kątów wpisanych ABC i DEF.

Rozwiązanie Przemka Kołowskiego
Zadanie 14
Cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki w stosunku 3:7. Wyznaczyć kąt jaki tworzy ta cięciwa ze styczną poprowadzoną do okręgu w jednym z końców tej cięciwy.

Rozwiązanie Pawła Kot
Zadanie 15
Z punktu P leżącego na zewnątrz okręgu o środku O poprowadzono styczne do tego okręgu. Punktami styczności tych stycznych do okręgu są punkty A i B. Następnie poprowadzono średnicę z punktu B, drugim jej końcem jest punkt C. Uzasadnić, że prosta CA jest równoległa do prostej PO.
Rozwiązanie Moniki Rolnickiej
Zadanie 16
Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Na każdym boku tego czworokąta budujemy półkole, którego średnicą jest ten bok. Uzasadnić, że półkola te pokryją cały czworokąt ABCD.

Rozwiązanie Pawła Kukiełczyńskiego
Zadanie 17
Rozwiąż rebus LAL = OLA

Zadanie 18
Uporządkuj od najmniejszej do największej liczby:
1612,1813, 329, 637.

Rozwiązanie Michała Marchwińskiego
Zadanie 19
Oblicz sumę cyfr wszystkich liczb naturalnych od 1 do 2000.

Rozwiązanie Radka Mastalerza
Zadanie 20
Ile jest liczb dziewięciocyfrowych o różnych cyfrach i takich, że każda cyfra oprócz ostatniej, patrząc od lewej strony zapisu dziesiętnego, jest większa od następnej.

Rozwiązanie Rafała Mastalerza
Zadanie 21
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n takie, by liczba (19n+17):(7n+11) była liczbą całkowitą.

Zadanie 22
Uzasadnij, że nie istnieje liczba naturalna taka, że po skreśleniu jej pierwszej cyfry, patrząc od lewej strony, otrzymamy liczbę 12 razy mniejszą.

Rozwiązanie Agnieszki Niedzielskiej
Zadanie 23
Czy spośród liczb naturalnych od 1 do 10 można wybrać dwie liczby tak by ich iloczyn był równy sumie liczb pozostałych.

Rozwiązanie Agnieszki Pankowskiej
Zadanie 24
W zapisie dziesiętnym liczby a każda jej cyfra oprócz ostatniej, patrząc od lewej strony jest mniejsza od następnej. Wyznaczyć sumę cyfr liczby 9a.

Zadanie 25
Dla jakich liczb naturalnych n liczba n2- 5n + 6 jest potęgą liczby 2?

Rozwiązanie Moniki Rolnickiej
Zadanie 26
Dwóch zawodników gra w następującą grę: na stole leżą kartki z numerami 1, 2, 3, 4, ...,9. Na każdej kartce jest inny numer i numery te są widoczne dla zawodników. Zawodnicy biorą po jednej kartce na przemian. Wygrywa ten, który pierwszy będzie miał trzy kartki, na których suma numerów będzie równa 15.
Który z zawodników może zapewnić sobie wygraną?

Rozwiązanie Mikołaja Schmidta (można pograć!)