LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA GIMNAZJUM
ZADANIE 25
Dla jakich liczb naturalnych n, liczba n2 - 5n + 6 jest potęg± liczby 2?
n2 - 5n + 6 = 2k
n2 - 2n - 3n + 6 = 2k
n . (n - 2) - 3 . (n - 2) = 2k
(n - 2) . (n - 3) = 2k
Wszystkie potęgi liczby 2 o wykładniku całkowitym dodatnim różni± się między sob± przynajmniej o 2.
(n - 2) - (n - 3) = 1, dlatego (n - 3) i (n - 2) nie mog± być jednocze¶nie potęgami liczby 2,
st±d wynika, że (n - 3) = 1, a (n - 2) = 2k, więc n = 4, a (n - 2) = 2.
Odp. Jedyn± tak± liczb± jest 4.
Monika Rolnicka.