Tytuł

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2000/2001

ZADANIE 3

Iloma zerami kończy się zapis dziesiętny liczby1*2*3*...*2001?

ROZWIĄZANIE

Jeśli liczbę podzielną przez 5 pomnożę przez liczbę podzielną przez 2, to dostanę liczbę podzielna przez 10, czyli mającą na końcu zero.
Jeśli liczbę podzielną przez 25 pomnożę przez liczbę podzielną przez 4, to dostanę liczbę podzielna przez 100, czyli mającą na końcu dwa zera.

itd.

Wśród kolejnych liczb 1, 2, ...,2000 jest więcej liczb podzielnych przez 5 niż przez 2, więc dla każdej liczby podzielnej przez 5 mogę dobrać liczbę podzielną przez 2 aby ich iloczyn dzielił sie przez 10. Zatem zer na końcu wyniku mnożenia 1*2*3*...*2000 jest tyle ile jest wszystkich dzielników 5.

Jednak wśród liczb podzielnych przez 5 są liczby które dwa razy dzielą się przez 5, np. 25, 50, trzy razy dzielą się przez 5, np. 125, 250, 375, itd.

Liczby od 1 do 2000 można potraktować jak cebule, które obieramy z dzielników liczby 5 (to znaczy dzielimy przez 5) aż do ostatka, a każda obierka daje jedno zero na końcu wyniku. Na przykład liczba 375=5×5×5×3 kojarzy mi się z cebulą, która będzie obierana w trzech etapach.

Wśród liczb

1, 2, ...,2000

jest 400 liczb podzielnych przez 5:

1×5, 2×5, 3×5, ....., 400×5

Po obraniu ich z dzielnika 5 (czyli po podzieleniu ich przez 5) dostajemy liczby

1, 2, 3, ...400.

Wśród nich 80 jest podzielnych przez 5:

1×5, 2×5, 3×5, ....., 80×5

Po podzieleniu ich przez 5 dostajemy liczby:

1, 2, 3, ...80

Wśród nich jest 16 liczb podzielnych przez 5:

1×5, 2×5, 3×5, ...,16×5

Po dzieleniu ich przez 5 otrzymujemy:

1, 2, 3, ...,16

Wśród nich są 3 liczby podzielne przez 5:

1×5, 2×5, 3×5

Po podzieleniu ich przez 5 dostajemy liczby

1, 2, 3

z których już żadna nie jest podzielna przez 5.

Razem daje nam to 400+80+16+3 zera czyli 499 zer.

Odpowiedź

Wynik mnożenia 1*2*3*...*2000 ma na końcu 499 zer.