Prezent wakacyjny
dla uczniów gimnazjum

Znaleźć 1000 liczb naturalnych, których suma jest równa ich iloczynowi.

Uzasadnić, że jeśli suma dwóch liczb naturalnych jest równa 770, to ich iloczyn nie dzieli się przez 770.

Iloma zerami kończy się zapis dziesiętny liczby $1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot 2001?$

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $m$, $n$, $p$ takie, że $m^2 - n^2 - p^2 = 1$ i $n + p - m = 3.$

Liczba naturalna $n$ jest taka, że $n^2 + 1$ jest liczbą dziesięciocyfrową. Udowodnić, że w zapisie dziesiętnym liczby $n^2 + 1$ co najmniej dwie cyfry są jednakowe.

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $p$ i $q$ oraz liczby naturalne $n$ spełniające równanie: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\cdot \frac{1}{q}=\frac{1}{n}$

Wyznaczyć wszystkie liczby trzycyfrowe, które są 11 razy większe od sumy swoich cyfr.

Czy istnieje liczba naturalna $n$ taka, że zapis dziesiętny liczby $2^{n+1}$ różni się jedynie porządkiem cyfr zapisu dziesiętnego liczby $2^n?$

Uzasadnić, że jeśli środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne, to ten trójkąt jest prostokątny.

Wyznaczyć wszystkie trójkąty równoramienne, które można podzielić na dwa trójkąty równoramienne.

Czy w każdym czworokącie można wybrać trzy boki, z których da się zbudować trójkąt?

W kwadracie $ABCD$ punkty $E$ i $F$ są odpowiednio środkami boków $AD$ i $CD$, natomiast $G$ jest punktem przecięcia odcinków $CE$ i $BF.$ Pokazać, że trójkaty $ABG$ i $AGD$ są równoramienne.

Skonstruować prostą, która dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

Skonstruować prostą, która dzieli dany czworokąt wypukły na dwa wielokąty o równych polach.

Uzasadnić, że jeśli prosta dzieli czworokąt, w który można wpisać okrąg, na dwa wielokąty o równych polach i równych obwodach, to prosta ta przechodzi przez środek okręgu wpisanego w ten czworokąt.

Na każdej krawędzi sześcianu umieszczamy jedną spośród liczb $1, 2, 3, ... ,12$ zachowując zasadę, że na różnych krawędziach są różne liczby. Czy można to zrobić tak, żeby sumy liczb na krawędziach należących do tej samej ściany były równe?

Dany jest siedmiokąt foremny. Przy każdym wierzchołku tego siedmiokąta wpisano liczbę 0 albo liczbę 1. Uzasadnij, że istnieje trójkąt równoramienny o wierzchołkach będącymi wierzchołkami tego siedmiokąta i taki, że przy wierzchołkach są bądź same jedynki bądź same zera.

Suma 50 liczb jest równa 100. Udowodnij, że istnieją wśród nich 3 liczby, których suma wynosi co najmniej 6.

Na turnieju tenisa stołowego uczestniczyło 100 uczniów. Turniej trwał cały rok, a każdy uczeń rozegrał z każdym innym uczniem dokładnie jeden mecz. Niech $x_i$ oznacza liczbę zwycięstw zawodnika o numerze $i$ na liście startowej, zaś $y_i$ niech będzie liczbą jego przegranych. Uzasadnij, że $x_1^2+x_2^2+\text{...}+x_{100}^2=y_1^2+y_2^2+\text{...}+y_{100}^2.$

Dwaj uczniowie piszą na przemian coraz większe liczby naturalne. Rozpoczynający grę pisze liczbę 2. Każdy następny ruch wykonywany jest według zasady: podana liczba musi być większa od poprzedniej ale jednocześnie musi być mniejsza od dwukrotności liczby poprzedniej. Wygrywa ten, który pierwszy napisze liczbę 2001. Który z uczniów posiada strategię wygrywającą?

Pająk rozpina nitki we wnętrzu szklanego sześcianu. Początek i koniec każdej nitki znajduje się bądźvw wierzchołku, bądź na środku krawędzi, bądź na środku ściany, nigdy jednak na tej samej ścianie. Ile nitek może w ten sposób rozpiąć pająk?

Na okręgu zaznaczono 2001 punktów niebieskich i 1 punkt zielony. Rozważamy wielokąty wypukłe, których wierzchołkami są jedynie pewne spośród zaznaczonych punktów. Jakich wielokątów jest więcej: czy tych, które mają tylko niebieskie wierzchołki, czy tych, w których jeden z wierchołków jest zielony?

Danych jest 10 liczb naturalnych, z których żadna nie jest większa niż 91. Uzasadnij, że wśród nich można znaleźć takie dwie różne liczby naturalne, że ich iloraz należy do przedziału domkniętego $\left[\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right]$.