Liga Zadaniowa UMK w Toruniu 2001/2002

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2000/2001 Prezent wakacyjny
Zadanie 1
Znaleźć 1000 liczb naturalnych, których suma jest równa ich iloczynowi.
Rozwiązanie Mariusza Banacha
Zadanie 2
Uzasadnić, że jeśli suma dwóch liczb naturalnych jest równa 770, to ich iloczyn nie dzieli się przez 770.
Rozwiązanie Filipa Byczkowskiego
Zadanie 3
Iloma zerami kończy się zapis dziesiętny liczby 1^.2^.3^....^.2001?
Rozwiązanie Kamila Ciszaka
Zadanie 4
Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite m, n, p takie, że m² - n² - p² = 1 i n + p - m = 3.
Zadanie 5
Liczba naturalna n jest taka, że n² + 1 jest liczbą dziesięciocyfrową. Udowodnić, że w zapisie dziesiętnym liczby n² + 1 co najmniej dwie cyfry są jednakowe.
Zadanie 6
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p i q oraz liczby naturalne n spełniające równanie:
Zadanie 7
Wyznaczyć wszystkie liczby trzycyfrowe, które są 11 razy większe od sumy swoich cyfr.
Rozwiązanie Karoliny Kapicy
Zadanie 8
Liczby naturalne a, b, c są takie, że . Uzasadnić, że .
Rozwiązanie Joasi Klimek
Zadanie 9
Czy istnieje liczba naturalna n taka, że zapis dziesiętny liczby 2ⁿ⁺¹ różni się jedynie porządkiem cyfr zapisu dziesiętnego liczby 2ⁿ?
Zadanie 10
Uzasadnić, że jeśli środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne, to ten trójkąt jest prostokątny.
Zadanie 11
Wyznaczyć wszystkie trójkąty równoramienne, które można podzielić na dwa trójkąty równoramienne.
Zadanie 12
Czy w każdym czworokącie można wybrać trzy boki, z których da się zbudować trójkąt?
Rozwiązanie Radka Mastalerza
Zadanie 13
W kwadracie ABCD punkty E i F są odpowiednio środkami boków AD i CD, natomiast G jest punktem przecięcia odcinków CE i BF. Pokazać, że trójkaty ABG i AGD są równoramienne.
Rozwiązanie Kamila Maksymiaka
Zadanie 14
Skonstruować prostą, która dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.
Zadanie 15
Skonstruować prostą, która dzieli dany czworokąt wypukły na dwa wielokąty o równych polach.
Rozwiązanie Łukasza Mossakowskiego
Zadanie 16
Uzasadnić, że jeśli prosta dzieli czworokąt, w który można wpisać okrąg, na dwa wielokąty o równych polach i równych obwodach, to prosta ta przechodzi przez środek okręgu wpisanego w ten czworokąt.
Zadanie 17
Na każdej krawędzi sześcianu umieszczamy jedną spośród liczb 1, 2, 3, ... ,12 zachowując zasadę, że na różnych krawędziach są różne liczby. Czy można to zrobić tak, żeby sumy liczb na krawędziach należących do tej samej ściany były równe?
Zadanie 18
Dany jest siedmiokąt foremny. Przy każdym wierzchołku tego siedmiokąta wpisano liczbę 0 albo liczbę 1. Uzasadnij, że istnieje trójkąt równoramienny o wierzchołkach będącymi wierzchołkami tego siedmiokąta i taki, że przy wierzchołkach są bądź same jedynki bądź same zera.
Zadanie 19
Suma 50 liczb jest równa 100. Udowodnij, że istnieją wśród nich 3 liczby, których suma wynosi co najmniej 6.
Zadanie 20
Na turnieju tenisa stołowego uczestniczyło 100 uczniów. Turniej trwał cały rok, a każdy uczeń rozegrał z każdym innym uczniem dokładnie jeden mecz. Niech x_i oznacza liczbę zwycięstw zawodnika o numerze i na liście startowej, zaś y_i niech będzie liczbą jego przegranych. Uzasadnij, że x₁² + x₂² + ... + x₁₀₀² = y₁² + y₂² + ... + y₁₀₀².
Zadanie 21
Dwaj uczniowie piszą na przemian coraz większe liczby naturalne. Rozpoczynający grę pisze liczbę 2. Każdy następny ruch wykonywany jest według zasady: podana liczba musi być większa od poprzedniej ale jednocześnie musi być mniejsza od dwukrotności liczby poprzedniej. Wygrywa ten, który pierwszy napisze liczbę 2001. Który z uczniów posiada strategię wygrywającą?
Rozwiązanie Moniki Skockiej
Zadanie 22
Pająk rozpina nitki we wnętrzu szklanego sześcianu. Początek i koniec każdej nitki znajduje się bądź w wierzchołku, bądź na środku krawędzi, bądź na środku ściany, nigdy jednak na tej samej ścianie. Ile nitek może w ten sposób rozpiąć pająk?
Zadanie 23
Na okręgu zaznaczono 2001 punktów niebieskich i 1 jeden punkt zielony. Rozważamy wielokąty wypukłe, których wierzchołkami są jedynie pewne spośród zaznaczonych punktów. Jakich wielokątów jest więcej: czy tyc, które mają tylko niebieskie wierzchołki, czy tych, w których jeden z wierchołków jest zielony?
Zadanie 24
Danych jest 10 liczb naturalnych, z których żadna nie jest większa niż 91. Uzasadnij, że wśród nich można znaleźć takie dwie różne liczby naturalne, że ich iloraz należy do przedziału .