LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
2000/2001

Prezent wakacyjny

Zadanie 7

Wyznaczyć wszystkie liczby trzycyfrowe, które są 11 razy większe od sumy swoich cyfr.

Rozwiązanie:

Dane w zadaniu można zapisać w ten sposób:

rozmiar: 1124 bajtów

Liczbę trzycyfrową można przedstawić jako 100x+10y+z. Wstawiam to do równania.

100x+10y+z="11·(x+y+z) 100x+10y+z="11x+11y+11z" /-10y

100x+z="11x+y+11z" /-z

100x="11x+y+10z" /-11x

89x="10z+y

Liczby x,y,z należą do zbioru {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

x,y,z € {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

x nie równa się 0, ponieważ gdyby x="0" to liczba nie byłaby trzycyfrowa
z nie równa się 0, ponieważ gdyby z="0, to wtedy 10·0+y="0+y=y czyli liczba jednocyfrowa, a skoro x nie równa się 0 to wtedy ta równość by się nie zgadzała.

Najmniejszy możliwy wynik 89x jest wtedy, gdy x="1 czyli 89·1="89, a największy gdy x="9 czyli 89·8="801.

Najmniejszy możliwy wynik 10z+y jest wtedy, gdy z="1 i y="0 czyli 10·1+0="10, a największy gdy z="9 i y="9 czyli 10·9+9="99.

Skoro 89x="10z+y to 89x € {89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99}.

Ponieważ 89x równe 10z+y jest liczbą dwucyfrową, dlatego x musi być równe 1 (gdyby było równe 2, to wtedy 89·2="178" - nie jest to liczba dwucyfrowa).

Z tego powodu z="8,a y="9, bo

89·1="89=10·8+9

Skoro x="1, z="8 i y="9 to =198.

odp. Szukana liczba to 198.

Karolina Kapica