Liga Zadaniowa UMK w Toruniu

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2000/2001

Prezent wakacyjny

Zadanie 21

Dwaj uczniowie piszą na przemian coraz większe liczby naturalne. Rozpoczynający grę pisze liczbę 2. Każdy następny ruch wykonywany jest według zasady: podana liczba musi być większa od poprzedniej, ale jednocześnie musi być mniejsza od dwókrotności liczby poprzedniej. Wygrywa ten, który pierwszy napisze liczbę 2001. Który z uczniów posiada strategię wygrywającą?

Rozwiązanie

Zaaranżowałam najpierw grę do 11:
Zauważyłam, że strategię wygrywającą ma osoba, która pierwsza napisze liczbę 5, a tą osobą jako pierwszy będzie uczeń zaczynający grę.
Zobaczcie sami:

1 uczeń	2 uczeń
stawia 2 2
	ma tylko jedną możliwość i stawia 3 3
teraz uczeń 1 może postawić 5 5
	stawia jedną spośród liczb 6, 7, 8, 9, 10, np. 7
niezależnie od tego, co postawił uczeń 2, uczeń 1 może może postawić 11 11
i wygrywa!

Dlaczego?
Liczba 5, to nic innego, jak część całkowita liczby 11/2. 11 jest to liczba, którą trzeba posatwić, aby wygrać. Każda następna liczba musi być mniejsza od dwukrotności liczby poprzedniej i stąd właśnie liczba 2.
Powyższe spostrzeżenie można odnieść do zadania:

[2001/2] = 1000	[1000/2] = 500	[500/2] = 250
[250/2] = 125	[125/2] = 62	[62/2] = 31
[31/2] = 15	[15/2] = 7	[7/2] = 3

Wynika z tego, że strategię wygrywającą ma uczeń, który jako pierwszy postawi liczbę 3, czyli uczeń, który wykona swój ruch jako drugi.

Pierwszy uczeń Drugi uczeń

2 3

Jedna z liczb 4, 5 7

Jedna z liczb 8, 9, ..., 13 15

Jedna z liczb 16, 17, ..., 29 31

Jedna z liczb 32, 33, ..., 61 62

Jedna z liczb 63, 64, ..., 123 125

Jedna z liczb 126, 127, ..., 249 250

Jedna z liczb 251, 252, ..., 499 500

Jedna z liczb 501, 502, ..., 999 1000

Jedna z liczb 1001, 1002, ..., 1999 2001

Monika Skocka kl.2a

Pierwszy uczeń	Drugi uczeń
2	3
Jedna z liczb 4, 5	7
Jedna z liczb 8, 9, ..., 13	15
Jedna z liczb 16, 17, ..., 29	31
Jedna z liczb 32, 33, ..., 61	62
Jedna z liczb 63, 64, ..., 123	125
Jedna z liczb 126, 127, ..., 249	250
Jedna z liczb 251, 252, ..., 499	500
Jedna z liczb 501, 502, ..., 999	1000
Jedna z liczb 1001, 1002, ..., 1999	2001